Để giải bài tập này, ta sẽ thực hiện theo từng yêu cầu.

### a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.

1. **Nhận xét đặc trưng của tam giác**: Trong tam giác ABC, bởi A là đỉnh của góc nhọn, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại điểm H (chân đường cao).

2. **Sử dụng định lý đường tròn ngoại tiếp**: Các góc ADB và AEC là góc vuông (do BD và CE là đường cao). Dựa trên định lý rằng nếu một tam giác có hai góc vuông, thì bốn điểm B, C, D, E sẽ cùng nằm trên một đường tròn ngoại tiếp.

3. **Kết luận**: Do đó, B, C, D và E thuộc cùng một đường tròn.

### b) Chứng minh OI vuông góc với DE.

1. **Chứng minh O là trung điểm BC**: O là trung điểm của đoạn thẳng BC, nên các đoạn BO và OC bằng nhau.

2. **Xác định I là trung điểm DE**: I cũng là trung điểm của đoạn thẳng DE.

3. **Xét tam giác BDE**: Lấy điểm I là trung điểm DE, đường nối OI (giữa trung điểm O của BC và trung điểm I của DE) sẽ vuông góc với DE, theo định nghĩa trung điểm và tính chất đường cao (O là trung điểm của cạnh huyền và I là trung điểm của đoạn gọi).

4. **Kết luận**: OI vuông góc với DE.

Vậy 2 yêu cầu của bài toán đều đã được chứng minh.