Để phân tích biểu thức \( x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - y^3 \), ta có thể nhận thấy rằng phần đầu của biểu thức chứa các hạng tử của một đa thức bậc ba có thể được liên kết với \( (x - 1)^3 \).

Cụ thể, ta sẽ phân tích phần \( x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \):

\[
x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3
\]

Vì vậy, ta có thể viết lại toàn bộ biểu thức:

\[
x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - y^3 = (x - 1)^3 - y^3
\]

Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng công thức hiệu của hai lập phương, đó là:

\[
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
\]

Trong trường hợp của chúng ta, đặt \( a = (x - 1) \) và \( b = y \):

\[
(x - 1)^3 - y^3 = ((x - 1) - y)((x - 1)^2 + (x - 1)y + y^2)
\]

Bây giờ, tiến hành tính toán \( (x - 1)^2 + (x - 1)y + y^2 \):

\[
(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1
\]
\[
(x - 1)y = xy - y
\]

Vậy:

\[
(x - 1)^2 + (x - 1)y + y^2 = x^2 - 2x + 1 + xy - y + y^2 = x^2 + xy - 2x - y + y^2 + 1
\]

Cuối cùng, biểu thức đã phân tích thành nhân tử sẽ là:

\[
(x - 1 - y)\left( x^2 + xy - 2x - y + y^2 + 1 \right)
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:

\[
x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - y^3 = (x - 1 - y)\left( x^2 + xy - 2x - y + y^2 + 1 \right)
\]