Để chứng minh rằng biểu thức \( (n + 2024)(n + 13) \) chia hết cho 2, chúng ta sẽ phân tích từng thành phần trong biểu thức này.

Xét hai thành phần \( (n + 2024) \) và \( (n + 13) \):

1. **Tổng các số chẵn và lẻ**:
- Nếu \( n \) là số chẵn, thì \( n + 2024 \) cũng là số chẵn (vì 2024 là số chẵn), và \( n + 13 \) sẽ là số lẻ (vì chẵn + lẻ = lẻ).
- Nếu \( n \) là số lẻ, thì \( n + 2024 \) sẽ là số lẻ (vì lẻ + chẵn = lẻ), và \( n + 13 \) sẽ là số chẵn (vì lẻ + lẻ = chẵn).

Trong cả hai trường hợp:
- Nếu \( n \) là số chẵn: Ta có \( n + 2024 \) là số chẵn và tối thiểu một trong hai tích \( n + 13 \) sẽ là số lẻ, do đó tích \( (n + 2024)(n + 13) \) sẽ là tích của một số chẵn và một số lẻ, và sẽ chia hết cho 2.
- Nếu \( n \) là số lẻ: Ta có \( n + 13 \) là số chẵn và tối thiểu một trong hai tích \( n + 2024 \) sẽ là số lẻ, do đó tích \( (n + 2024)(n + 13) \) cũng sẽ là tích của một số lẻ và một số chẵn, và sẽ chia hết cho 2.

### Kết luận:
Dù \( n \) là số chẵn hay số lẻ, \( (n + 2024)(n + 13) \) đều chia hết cho 2.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( (n + 2024)(n + 13) \) chia hết cho 2 đối với mọi giá trị của \( n \).