Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích các thông tin đã cho và đặt ra các biến cần thiết.

1. **Tổng sản phẩm cần sản xuất:** 250 sản phẩm.
2. **Thời gian dự kiến:** (chưa biết, ký hiệu là \(n\) ngày).
3. **Sản phẩm được sản xuất trong 4 ngày đầu:** Đúng kế hoạch, tức là \(4x\), trong đó \(x\) là số sản phẩm do đội công nhân làm mỗi ngày.
4. **Số sản phẩm được sản xuất trong 1 ngày sau đó:** Họ vượt mức 5 sản phẩm, tức là \(x + 5\).

Theo thông tin, đội công nhân đã hoàn thành công việc sớm hơn 1 ngày so với dự định, nghĩa là họ đã hoàn thành trong \(n - 1\) ngày.

Do đó, chúng ta có phương trình tổng số sản phẩm:

\[
4x + (n - 5)(x + 5) = 250
\]

Bây giờ, chúng ta cần tìm \(n\) (tổng số ngày dự kiến sản xuất).

**Tính \(n\):**
Tổng số ngày dự kiến sản xuất là:

\[
n = \frac{250}{x}
\]

Thay thế vào phương trình:

\[
4x + \left(\frac{250}{x} - 5\right)(x + 5) = 250
\]

Giải phương trình trên:

\[
4x + \left(\frac{250}{x} - 5\right)(x + 5) = 250
\]
\[
4x + \left(\frac{250}{x} - 5\right)x + \left(\frac{250}{x} - 5\right)5 = 250
\]
\[
4x + 250 - 5x + 5 \cdot \frac{250}{x} - 25 = 250
\]
\[
250 - x + 5 \cdot \frac{250}{x} - 25 = 250
\]
\[
5 \cdot \frac{250}{x} - x - 25 = 0
\]
\[
5 \cdot \frac{250}{x} = x + 25
\]
Nhân mỗi bên với \(x\):

\[
1250 = x^2 + 25x
\]

Đặt phương trình về dạng chuẩn:

\[
x^2 + 25x - 1250 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
\[
x = \frac{-25 \pm \sqrt{25^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1250)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
x = \frac{-25 \pm \sqrt{625 + 5000}}{2}
\]
\[
x = \frac{-25 \pm \sqrt{5625}}{2}
\]
\[
x = \frac{-25 \pm 75}{2}
\]

Có 2 nghiệm:

1. \(x = \frac{50}{2} = 25\) (nghiệm dương).
2. \(x = \frac{-100}{2} = -50\) (không hợp lệ).

Vậy, số sản phẩm mà đội công nhân sản xuất mỗi ngày là **25 sản phẩm**.

**Tóm tắt**:

- **Số sản phẩm mỗi ngày:** 25 sản phẩm.
- **4 ngày đầu:** Làm được \(4 \times 25 = 100\) sản phẩm.
- **Số ngày còn lại:** Từ \(250 - 100 = 150\) sản phẩm. Với \(n - 5 = 6\) ngày còn lại thì theo kế hoạch là \(n = 7\) ngày. Các ngày sau, mỗi ngày họ vượt 5 sản phẩm: \(30\) sản phẩm.

Vậy họ hoàn thành 250 sản phẩm trong **6 ngày và 4 ngày đầu** làm theo kế hoạch tốt.