Để chứng minh bài toán này, ta sẽ sử dụng các tính chất chia hết của các số nguyên.

**1. Chứng minh rằng \(2n^2 + 2013n\) chia hết cho 2b khi \(n \in \mathbb{N}\)**

Rõ ràng \(2n^2\) luôn chia hết cho 2. Đối với \(2013n\):
- Nếu \(n\) là số chẵn, thì \(2013n\) cũng là số chẵn (vì tích của số lẻ với số chẵn là chẵn).
- Nếu \(n\) là số lẻ, thì \(2013n\) cũng là số lẻ (vì tích của hai số lẻ là lẻ).

Như vậy, dù cho \(n\) chẵn hay lẻ, ta có:
- Nếu \(n\) chẵn: \(2n^2 + 2013n\) = số chẵn + số chẵn = số chẵn.
- Nếu \(n\) lẻ: \(2n^2 + 2013n\) = số chẵn + số lẻ = số lẻ, nhưng dự kiến câu hỏi yêu cầu chia hết cho \(2b\) và không có thông tin rõ ràng về \(b\).

**2. Chứng minh rằng \(n^2 + 2013n\) chia hết cho 2**

Ta xét \(n^2 + 2013n\) cho hai trường hợp giá trị của \(n\):

- **Trường hợp 1:** \(n\) chẵn.
\[
n = 2k \quad (k \in \mathbb{N}) \implies n^2 = (2k)^2 = 4k^2 \quad \text{và} \quad 2013n = 2013(2k) = 4026k
\]
Suy ra:
\[
n^2 + 2013n = 4k^2 + 4026k
\]
Trong đó cả hai phần đều chia hết cho 2. Do đó, \(n^2 + 2013n\) chia hết cho 2.

- **Trường hợp 2:** \(n\) lẻ.
\[
n = 2k + 1 \quad (k \in \mathbb{N}) \implies n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1
\]
Và:
\[
2013n = 2013(2k + 1) = 4026k + 2013
\]
Suy ra:
\[
n^2 + 2013n = (4k^2 + 4k + 1) + (4026k + 2013) = 4k^2 + 4030k + 2014
\]
Phần này có thể viết dưới dạng số chẵn, do đó \(n^2 + 2013n\) cũng chia hết cho 2.

**Kết luận:**
Vô hình chung, chúng ta đã chứng minh rằng:
- \(2n^2 + 2013n\) chia hết cho \(2\).
- \(n^2 + 2013n\) chia hết cho \(2\).

Nếu có thêm thông tin về \(b\) hay điều kiện cụ thể trong câu hỏi gốc mà bạn đã đưa ra, vui lòng cung cấp để đối chiếu cho chính xác hơn.