Để giải các bài toán trong hình, chúng ta sẽ xử lý từng bài một.

### Bài 51:
Cho \( a + 3 > b + 3 \). Chứng minh rằng \( -2a + 1 > -2b + 1 \).

**Giải:**
Từ bất đẳng thức \( a + 3 > b + 3 \) ta rút gọn được:
\( a > b \).

Nhân cả hai vế với -2 (và nhớ đổi chiều bất đẳng thức):
\[
-2a < -2b.
\]
Thêm 1 vào cả hai vế:
\[
-2a + 1 < -2b + 1.
\]
Vì vậy, ta có:
\[
-2a + 1 < -2b + 1.
\]

### Bài 52:
Cho \( a, b, c \) là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng \( a < \frac{a+b+c}{2} \).

**Giải:**
Theo định nghĩa của tam giác, chúng ta có:
1. \( a + b > c \)
2. \( a + c > b \)
3. \( b + c > a \)

Cộng các bất đẳng thức trên:
\[
(a + b) + (a + c) + (b + c) > a + b + c
\]
Sắp xếp lại, ta có:
\[
2a + 2b + 2c > a + b + c,
\]
hoặc:
\[
a + b + c > 2a.
\]
Chia cả hai vế cho 2:
\[
\frac{a + b + c}{2} > a.
\]
Do đó:
\[
a < \frac{a + b + c}{2}.
\]

### Bài 53:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = 2x^2 + 28x + 101 \).

**Giải:**
Biểu thức này có dạng \( A = ax^2 + bx + c \) với \( a = 2, b = 28 \):
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc 2 (có \( a > 0 \)) xảy ra tại \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{28}{2 \cdot 2} = -7 \).

Thay \( x = -7 \) vào biểu thức:
\[
A = 2(-7)^2 + 28(-7) + 101
\]
\[
= 2 \cdot 49 - 196 + 101 = 98 - 196 + 101 = 3.
\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3.

### Bài 54:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \( C = -x^2 + 5x \).

**Giải:**
Biểu thức này cũng có dạng \( C = -ax^2 + bx \) với \( a = 1, b = 5 \) (trong trường hợp này \( a > 0 \)).

Giá trị lớn nhất của biểu thức bậc 2 (có \( a < 0 \)) xảy ra tại \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2(-1)} = \frac{5}{2} \).

Thay \( x = \frac{5}{2} \) vào biểu thức:
\[
C = -\left(\frac{5}{2}\right)^2 + 5 \cdot \frac{5}{2}.
\]
\[
= -\frac{25}{4} + \frac{25}{2} = -\frac{25}{4} + \frac{50}{4} = \frac{25}{4}.
\]
Vậy giá trị lớn nhất của C là \( \frac{25}{4} \).