Để tìm số tự nhiên \( n \) nằm giữa 1 và 2000 sao cho phân số \( \frac{n^2 + 7}{n + 4} \) không phải là phân số tối giản, ta cần tìm các số \( n \) sao cho mẫu và tử có chung thừa số nguyên lớn hơn 1.

**Bước 1:** Rút gọn phân số

Nhìn vào tử \( n^2 + 7 \) và mẫu \( n + 4 \), ta cần tìm các số nguyên \( d \) sao cho \( d \) chia cả hai.

**Bước 2:** Kiểm tra điều kiện

Ta sẽ kiểm tra giá trị \( n + 4 \) và \( n^2 + 7 \):

- Phân số không phải tối giản nghĩa là có ước chung. Chia cả hai cho \( n+4 \):

\[
\frac{n^2 + 7}{n + 4} = n - 4 + \frac{39}{n + 4}
\]

Điều này có nghĩa là \( n + 4 \) phải chia hết cho 39 (để phần dư là 0).

**Bước 3:** Tìm các số \( n \)

Ta có:

\[
n + 4 = 39k \quad (k = 1, 2, \ldots)
\]

Vậy:

\[
n = 39k - 4
\]

**Bước 4:** Giải với điều kiện \( 1 < n < 2000 \)

\[
1 < 39k - 4 < 2000
\]
\[
5 < 39k < 2004
\]
\[
\frac{5}{39} < k < \frac{2004}{39} \rightarrow k \in [1, 51]
\]

**Bước 5:** Đếm số giá trị hợp lệ của \( k \)

Giá trị của \( k \) có thể là 1 đến 51, tức là có 51 giá trị \( k \).

**Kết luận:** Có 51 số tự nhiên \( n \) nằm giữa 1 và 2000 sao cho phân số \( \frac{n^2 + 7}{n + 4} \) không phải là phân số tối giản.