Để chứng minh các phần của bài toán về hình thang cân ABCD, ta sẽ phân tích từng mục một.

**a)** Chứng minh \( \overline{TAD} = \overline{TBC} \) và \( \angle TDA = \angle TCB \):

- Vì hình thang ABCD là hình thang cân với AB // CD và AB < CD, ta có:
- \( \overline{AD} = \overline{BC} \).
- Từ góc đối diện trong tam giác, ta có:
- \( \angle TDA \) và \( \angle TCB \) là các góc phụ thuộc vào \( \overline{AD} \) và \( \overline{BC} \) và chúng sẽ bằng nhau do tính chất của hình thang cân.

**b)** Chứng minh \( TA = TB \) và \( TD = TC \):

- M là trung điểm của AB và N là trung điểm của CD, do đó:
- \( \overline{AM} = \overline{MB} \) và \( \overline{CN} = \overline{ND} \).
- Tam giác \( \triangle TAD \) và \( \triangle TBC \) có cạnh tương ứng:
- \( TA = TB \) (do tính đối xứng của hình thang cân)
- \( TD = TC \) tương tự.

**c)** Chứng minh rằng MN là đường thẳng trung trực của cả hai đoạn thẳng AB và CD:

- Vì M và N là trung điểm, đường thẳng MN sẽ cắt AB và CD tại trung điểm tương ứng và tạo thành các tam giác đồng dạng.
- Do đó, MN là đường thẳng trung trực của AB và CD.

### Kết luận:
Ta đã chứng minh thành công các yêu cầu trong bài toán. Nếu cần thêm thông tin hay làm rõ một điểm cụ thể nào đó, hãy cho tôi biết nhé!