Để chứng minh rằng đa thức \( 4x^2 + 1 \) vô nghiệm, chúng ta sẽ xem xét giá trị của đa thức này với mọi giá trị thực của \( x \).

Đa thức \( 4x^2 + 1 \) có thể được phân tích như sau:

1. **Chú ý rằng \( 4x^2 \geq 0 \)** với mọi giá trị thực của \( x \). Giá trị này đạt cực tiểu bằng 0 khi \( x = 0 \).
2. **Bổ sung vào số không dương**: Khi thêm 1 vào \( 4x^2 \), ta có \( 4x^2 + 1 \geq 0 + 1 = 1 \) với mọi giá trị thực của \( x \).

Vì vậy, không có giá trị của \( x \) nào khiến cho \( 4x^2 + 1 = 0 \). Do đó, ta có thể kết luận rằng đa thức \( 4x^2 + 1 \) không có nghiệm nào trong tập hợp số thực.

### Kết luận

Đa thức \( 4x^2 + 1 \) vô nghiệm (không có nghiệm thực).