### Bài 11

**a)** Tử giác DEBF là hình gì? Vì sao?
**Trả lời:** Tử giác DEBF là hình bình hành. Vì E và F là trung điểm của các cạnh AB và CD trong hình bình hành ABCD. Do đó, DE song song với BF (vì chúng đều song song với CD), và EF song song với DB (vì chúng đều song song với AB). Hơn nữa, DE = BF và EF = DB, do đó DEBF là hình bình hành.

**b)** Chứng minh: AC, BD, EF cắt nhau tại một điểm.
**Trả lời:** AC và BD là các đường chéo của hình bình hành, vì vậy chúng cắt nhau tại trung điểm M của hình bình hành. Vì EF là một đoạn nối giữa hai trung điểm E và F, do đó theo định lý trung điểm, EF cũng đi qua trung điểm của AC và BD. Vậy AC, BD, và EF cắt nhau tại điểm M.

---

### Bài 12

**a)** Tứ giác AMCK là hình gì? Vì sao?
**Trả lời:** Tứ giác AMCK là hình thoi. Vì AM là trung tuyến, nên AM = MC (M là trung điểm của BC). Đồng thời, I là trung điểm của AC, nghĩa là AI = IC. Máckn đối xứng của M qua I cũng sẽ tạo ra màng tâm bão hòa tại các cạnh AE và CK, làm cho tứ giác AMCK có tất cả các cạnh bằng nhau, từ đó kết luận AMCK là hình thoi.

**b)** Tứ giác AKMB là hình gì? Vì sao?
**Trả lời:** Tứ giác AKMB là hình chữ nhật. Vì AM là trung tuyến và AI = IC với K là điểm đối xứng của M qua I. Do đó, các góc AKM và BAI bằng nhau, điều này cho thấy tứ giác AKMB có các góc vuông và các cạnh đối diện bằng nhau, do đó AKMB là hình chữ nhật.

---

### Bài 13

**a)** Tứ giác DIEG là hình gì? Vì sao?
**Trả lời:** Tứ giác DIEG là hình vuông. Vì D, I, E, G đều là các điểm trung điểm của các cạnh trong tam giác vuông, nên chúng tạo thành một hình vuông với các cạnh bằng nhau và các góc vuông.

**b)** Gọi M là điểm đối xứng với E qua G. Chứng minh rằng DM // EK.
**Trả lời:** Để chứng minh DM // EK, ta có thể xem xét các vector DM và EK. Vì G là trung điểm và M là điểm đối xứng với E qua G, nên vector EG = vector GM. Do đó, DM và EK là các vector tương ứng, và vì vậy chúng phải song song với nhau.

---

### Bài 14

**a)** Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật.
**Trả lời:** Vì AD vuông góc với AB tại D và ME vuông góc với AC tại E. Do đó, AD và ME là hai đường vuông góc với nhau và có độ dài bằng nhau, nên tứ giác ADME là hình chữ nhật.

**b)** Chứng minh CMDE là hình bình hành.
**Trả lời:** Vì M là trung điểm của BC và D là điểm trên AB, do đó DE song song với CM và CD khi đó tương ứng. Việc này dẫn đến xác nhận tứ giác CMDE là hình bình hành.

**c)** Vẽ AH vuông góc với BC. Chứng minh tứ giác MHDE là hình thang cân.
**Trả lời:** Tứ giác MHDE là hình thang cân vì AH vuông góc với BC chứng tỏ MH // DE và AM = ME kết hợp với cấu trúc của tứ giác dẫn đến tứ giác MHDE là hình thang cân.

---

### Câu 5

Giá trị nhỏ nhất của đa thức \(A = x^2 + 4x + 11\) là:

Để tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức bậc hai, ta có thể sử dụng công thức:

\[
A_{\text{min}} = -\frac{b^2}{4a} + c
\]

Áp dụng vào trường hợp này:

- \(a = 1\),
- \(b = 4\),
- \(c = 11\).

Thay vào công thức trên:

\[
A_{\text{min}} = -\frac{4^2}{4 \cdot 1} + 11 = -\frac{16}{4} + 11 = -4 + 11 = 7.
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của đa thức là **7**.