Để tính giá trị của biểu thức

\[
A = -1 - \frac{1}{2} \times (1 + 2) - \frac{1}{3} \times (1 + 2 + 3) - \ldots - \frac{1}{101} \times (1 + 2 + 3 + \ldots + 101)
\]

Ta có thể sử dụng công thức tính tổng của dãy số tự nhiên. Tổng của \(1 + 2 + 3 + \ldots + n\) là

\[
S_n = \frac{n(n + 1)}{2}
\]

Áp dụng công thức này, ta có thể viết lại biểu thức \(A\):

\[
A = -1 - \frac{1}{2} \times S_2 - \frac{1}{3} \times S_3 - \ldots - \frac{1}{101} \times S_{101}
\]

Mà

\[
S_n = \frac{n(n + 1)}{2}
\]

Vậy

\[
A = -1 - \frac{1}{2} \times \frac{2(2 + 1)}{2} - \frac{1}{3} \times \frac{3(3 + 1)}{2} - \ldots - \frac{1}{101} \times \frac{101(101 + 1)}{2}
\]

Chúng ta thay vào biểu thức \(A\):

\[
A = -1 - \frac{1}{2} \times \frac{2 \times 3}{2} - \frac{1}{3} \times \frac{3 \times 4}{2} - \ldots - \frac{1}{101} \times \frac{101 \times 102}{2}
\]

Bây giờ, ta tính \(A\) từng phần:

\[
A = -1 - \frac{1}{2} \left( 3 \right) - \frac{1}{3} \left( 6 \right) - \ldots - \frac{1}{101} \left( 5151 \right)
\]

Ta viết lại mỗi phần:

\[
A = -1 - 1.5 - 2 - 2.5 - \ldots - 50.5
\]

Dễ thấy, tổng các số từ \(1.5\) đến \(50.5\) với bước nhảy là \(0.5\) sẽ tạo thành một cấp số cộng có công sai là \(0.5\).

Số các số hạng từ \(1.5\) đến \(50.5\) là:

\[
n = \frac{50.5 - 1.5}{0.5} + 1 = 99
\]

Công thức tính tổng của cấp số cộng:

\[
S_n = \frac{n}{2} \times (\text{số hạng đầu} + \text{số hạng cuối})
\]

Áp dụng vào tổng:

\[
S_{99} = \frac{99}{2} \times (1.5 + 50.5) = \frac{99}{2} \times 52 = 99 \times 26 = 2574
\]

Do đó, giá trị \(A\) trở thành:

\[
A = -1 - 2574 = -2575
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:

\[
\boxed{-2575}
\]