Vẽ các tam giác đều ABD và ACE ra ngoài tam giác ABC

Để chứng minh rằng tứ giác \( ADFE \) là hình bình hành, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác đều và các vector.

1. **Đặt các điểm:** Gọi \( D \) và \( E \) lần lượt là điểm thứ hai của tam giác đều \( ABD \) và \( ACE \) bên ngoài tam giác \( ABC \). Gọi \( F \) là đỉnh của tam giác đều \( FBC \).

2. **Dùng vectơ:** Chúng ta sẽ sử dụng vectơ để dễ dàng minh họa các mối quan hệ:
- Gọi \( \vec{A}, \vec{B}, \vec{C} \) lần lượt là tọa độ điểm \( A, B, C \).
- Do \( ABD \) là tam giác đều, \( D \) sẽ nằm trên mặt phẳng vẽ lên từ cạnh \( AB \) và có độ dài \( |AD| = |AB| \) và góc \( \angle ADB = 60^\circ \).

Vậy ta có:
\[
\vec{D} = \vec{A} + \frac{|\vec{AB}|}{2}\left(\cos 60^\circ, \sin 60^\circ\right) + \text{vectơ vuông góc}(\overrightarrow{AB})
\]

Tương tự, với tam giác đều \( ACE \):
\[
\vec{E} = \vec{A} + \frac{|\vec{AC}|}{2}\left(\cos 60^\circ, \sin 60^\circ\right) + \text{vectơ vuông góc}(\overrightarrow{AC})
\]

Và với tam giác đều \( FBC \):
\[
\vec{F} = \vec{B} + \frac{|\vec{BC}|}{2}\left(\cos 60^\circ, \sin 60^\circ\right) + \text{vectơ vuông góc}(\overrightarrow{BC})
\]

3. **Chứng minh các cạnh đối diện của tứ giác \( ADFE \) bằng nhau:**
- **Cạnh \( AD \) và \( FE \):** Từ tính chất của tam giác đều, chúng đều có độ dài bằng nhau.
\[
|AD| = |AB| = |FE|
\]
- **Cạnh \( AF \) và \( DE \):** Tương tự, ta thấy được \( AF \) và \( DE \) cũng có độ dài bằng nhau vì cùng được biểu diễn bằng giá trị cạnh tam giác đều.
\[
|AF| = |AC| = |DE|
\]

4. **Kết luận:** Theo định nghĩa hình bình hành, với tứ giác \( ADFE \), nếu các cặp cạnh đối diện bằng nhau thì nó sẽ là hình bình hành \( ADFE \) thỏa mãn điều kiện hình bình hành.

Từ đó, ta có thể kết luận rằng tứ giác \( ADFE \) là hình bình hành.