Để giải phương trình \( 4x^2 - 12xy + 9y^2 = \frac{5}{3} \cdot \left( \frac{3}{5} \right)^0 - 1 \), trước tiên ta cần tính giá trị bên phía phải của phương trình.

Ta có:
\[
\left( \frac{3}{5} \right)^0 = 1
\]

Do đó:
\[
\frac{5}{3} \cdot 1 = \frac{5}{3}
\]

Từ đó, phương trình trở thành:
\[
4x^2 - 12xy + 9y^2 = \frac{5}{3} - 1
\]

Giá trị \( 1 \) có thể viết dưới dạng phân số là \( \frac{3}{3} \), vì vậy:
\[
\frac{5}{3} - 1 = \frac{5}{3} - \frac{3}{3} = \frac{5 - 3}{3} = \frac{2}{3}
\]

Vậy phương trình có dạng:
\[
4x^2 - 12xy + 9y^2 = \frac{2}{3}
\]

Để dễ dàng làm việc với phương trình, ta nhân cả hai vế với 3 để loại bỏ mẫu, ta có:
\[
3(4x^2 - 12xy + 9y^2) = 2
\]
\[
12x^2 - 36xy + 27y^2 = 2
\]

Bây giờ, ta chuyển đổi phương trình về dạng chuẩn:
\[
12x^2 - 36xy + 27y^2 - 2 = 0
\]

Phương trình này là một phương trình bậc hai theo biến \( x \):
\[
12x^2 - 36xy + (27y^2 - 2) = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \) với \( a = 12, b = -36y, c = 27y^2 - 2 \), ta có:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Tính toán từng biểu thức:
- \( b^2 = (-36y)^2 = 1296y^2 \)
- \( 4ac = 4 \cdot 12 \cdot (27y^2 - 2) = 48(27y^2 - 2) = 1296y^2 - 96 \)

Giá trị discriminant sẽ là:
\[
b^2 - 4ac = 1296y^2 - (1296y^2 - 96) = 96
\]

Vậy công thức nghiệm trở thành:
\[
x = \frac{36y \pm \sqrt{96}}{24}
\]

Tính đơn giản cho \( \sqrt{96} = 4\sqrt{6} \):
\[
x = \frac{36y \pm 4\sqrt{6}}{24} = \frac{3y \pm \frac{1}{6} \sqrt{6}}{2}
\]

Như vậy, nghiệm của phương trình là:
\[
x = \frac{3y \pm 2\sqrt{6}}{6}
\]

Do đó, ta có hai giá trị cho \( x \):
\[
x_1 = \frac{3y + 2\sqrt{6}}{6} \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{3y - 2\sqrt{6}}{6}
\]

Các giá trị này là nghiệm của phương trình ban đầu.