Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn P = x + y nhỏ nhất

Để tìm giá trị \( m \) cho hệ phương trình

\[
\left\{
\begin{align*}
(m + 1)x - y &= m + 1 \quad (1) \\
x + (m - 1)y &= 2 \quad (2)
\end{align*}
\right.
\]

có nghiệm duy nhất, chúng ta sẽ sử dụng điều kiện là định thức của ma trận hệ số khác không.

Ma trận hệ số của hệ phương trình trên là:

\[
A =
\begin{pmatrix}
m + 1 & -1 \\
1 & m - 1
\end{pmatrix}
\]

Định thức của ma trận \( A \) là:

\[
\text{det}(A) = (m + 1)(m - 1) - (-1)(1) = (m + 1)(m - 1) + 1 = m^2 - 1 + 1 = m^2
\]

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, điều kiện là:

\[
m^2 \neq 0 \implies m \neq 0
\]

Sau đó, chúng ta cần tìm giá trị của \( m \) sao cho tổng \( P = x + y \) là nhỏ nhất. Từ hệ phương trình, chúng ta sẽ giải để tìm \( x \) và \( y \):

Từ (1), ta có:

\[
y = (m + 1)x - (m + 1)
\]

Thế vào (2):

\[
x + (m - 1)((m + 1)x - (m + 1)) = 2
\]

Phát triển và rút gọn:

\[
x + (m - 1)(m + 1)x - (m - 1)(m + 1) = 2
\]

\[
(1 + (m^2 - 1))x - (m^2 - 1) = 2
\]

\[
m^2 x - (m^2 - 1) = 2
\]

Từ đó:

\[
x(m^2) = 2 + (m^2 - 1) \implies x(m^2) = m^2 + 1 \implies x = \frac{m^2 + 1}{m^2} = 1 + \frac{1}{m^2}
\]

Thay giá trị \( x \) vào (1) để tìm \( y \):

\[
y = (m + 1)(1 + \frac{1}{m^2}) - (m + 1) = \frac{m + 1}{m^2}
\]

Bây giờ tính tổng \( P \):

\[
P = x + y = \left(1 + \frac{1}{m^2}\right) + \frac{m + 1}{m^2} = 1 + \frac{1 + m + 1}{m^2} = 1 + \frac{m + 2}{m^2}
\]

Để giá trị này nhỏ nhất, \( m \) phải khác 0. Xét hàm \( f(m) = \frac{m + 2}{m^2} \):

Tính đạo hàm bậc nhất và đặt bằng 0 để tìm cực trị:

\[
f'(m) = \frac{(m^2)(1) - (m + 2)(2m)}{m^4} = \frac{m^2 - 2m^2 - 4m}{m^4} = \frac{-m^2 - 4m}{m^4} = 0
\]

Từ đó có \( m + 4 = 0 \) nên:

\[
m = -4
\]

Khi \( m = -4 \), hệ phương trình có nghiệm duy nhất và \( \boxed{-4} \) là giá trị cần tìm cho \( m \).