Để giải bài toán này, ta cần chứng minh hai phần theo yêu cầu:

### a) Chứng minh rằng tứ giác BDEC là hình thang cân.

1. **Do tam giác ABC là tam giác cân tại A**, ta có \( AB = AC \).
2. **Vì \( AD = AE \)**, ta có \( BD = BE \) (do điểm D trên AB và E trên AC).
3. **Ta có hai đoạn thẳng BD và BE bằng nhau**. Vì B là đỉnh chung và hai đoạn thẳng AD và AE là hai cạnh tương ứng của tam giác cân, tứ giác BDEC sẽ có hai cạnh đối diện bằng nhau.
4. **Vì các cạnh BĐ và BÉ đối diện bằng nhau**, ta kết luận rằng tứ giác BDEC là hình thang.

### b) Tính các góc của hình thang BDEC, biết rằng \( \angle A = 50^\circ \).

1. **Gọi \( \angle ABD = \alpha \) và \( \angle ACE = \beta \)**. Ta có \( \alpha = \beta \) vì tam giác ABC là tam giác cân.
2. **Ta có \( \angle A = \alpha + \alpha = 50^\circ \) từ đó suy ra** \( 2\alpha = 50^\circ \) nên \( \alpha = 25^\circ \).
3. **Góc BDC và góc BEC là những góc trong hình thang**. Theo định nghĩa hình thang, ta có:
- \( \angle BDC = \angle A = 50^\circ \)
- \( \angle BEC = \angle A = 50^\circ \).

4. Do đó, các góc của hình thang BDEC là:
- \( \angle BDC = 50^\circ \)
- \( \angle BEC = 50^\circ \)
- \( \angle EBD = 25^\circ \)
- \( \angle DCE = 25^\circ \).

### Kết luận
- Tứ giác BDEC là hình thang cân.
- Các góc của hình thang BDEC lần lượt là \( 50^\circ \) và \( 25^\circ \).