Gọi số tự nhiên cần tìm là \( xy \), trong đó \( x \) là chữ số hàng chục và \( y \) là chữ số hàng đơn vị. Theo đề bài, ta có hai điều kiện:

1. Chữ số hàng đơn vị kém chữ số hàng chục là 7:
\[
y = x - 7
\]

2. Số đó bằng bình phương của tổng hai chữ số của nó:
\[
10x + y = (x + y)^2
\]

Thay \( y \) từ điều kiện 1 vào điều kiện 2:

\[
10x + (x - 7) = (x + (x - 7))^2
\]
\[
10x + x - 7 = (2x - 7)^2
\]
\[
11x - 7 = (2x - 7)(2x - 7)
\]
\[
(2x - 7)^2 = 4x^2 - 28x + 49
\]

Giải phương trình:
\[
11x - 7 = 4x^2 - 28x + 49
\]
\[
4x^2 - 28x - 11x + 49 + 7 = 0
\]
\[
4x^2 - 39x + 56 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Với \( a = 4 \), \( b = -39 \), \( c = 56 \):
\[
x = \frac{39 \pm \sqrt{(-39)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 56}}{2 \cdot 4}
\]
\[
= \frac{39 \pm \sqrt{1521 - 896}}{8}
\]
\[
= \frac{39 \pm \sqrt{625}}{8}
\]
\[
= \frac{39 \pm 25}{8}
\]

Tính hai nghiệm:
1. Nghiệm dương:
\[
x = \frac{64}{8} = 8
\]

2. Nghiệm âm:
\[
x = \frac{14}{8} = 1.75 \quad (\text{không phải là số tự nhiên})
\]

Do đó, \( x = 8 \). Tính \( y \):
\[
y = x - 7 = 8 - 7 = 1
\]

Vậy số tự nhiên cần tìm là \( 81 \).

Để kiểm tra điều kiện:
1. Kiểm tra chữ số hàng đơn vị kém chữ số hàng chục 7 đơn vị:
\[
1 = 8 - 7 \quad \text{(đúng)}
\]
2. Kiểm tra số đó bằng bình phương của tổng hai chữ số:
\[
81 = (8 + 1)^2 = 9^2 = 81 \quad \text{(đúng)}
\]

Vậy số tự nhiên cần tìm là **81**.