Để chứng minh \( P = \frac{x}{\sqrt{x}+1} \) và tìm \( x \) để \( P = \frac{4}{3} \), ta làm theo các bước sau:

### Bước 1: Chứng minh \( P = \frac{x}{\sqrt{x}+1} \)

Từ biểu thức đã cho:

\[
P = \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}-1} + \frac{\sqrt{x}}{x-\sqrt{2}}\right) \cdot \left(\frac{2+x}{x-\sqrt{2}}\right)
\]

Ta cần đơn giản hóa biểu thức này để xem nó có bằng \( \frac{x}{\sqrt{x}+1} \) hay không.

### Bước 2: Tìm \( x \) khi \( P = \frac{4}{3} \)

Giả sử \( P = \frac{4}{3} \):

\[
\frac{x}{\sqrt{x}+1} = \frac{4}{3}
\]

Giải phương trình này:

1. Nhân chéo hai vế:

\[
3x = 4(\sqrt{x} + 1)
\]

2. Mở rộng và chuyển các hạng tử về một bên:

\[
3x = 4\sqrt{x} + 4
\]

3. Đưa về dạng phương trình bậc 2:

\[
4\sqrt{x} - 3x + 4 = 0
\]

4. Đặt \( y = \sqrt{x} \):

\[
4y - 3y^2 + 4 = 0 \implies -3y^2 + 4y + 4 = 0
\]

5. Giải phương trình này bằng công thức bậc 2:

\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{-6}
\]

6. Tính giá trị delta và tìm nghiệm.

Sau khi tìm được \( y \), ta có thể tìm \( x \) bằng cách bình phương nghiệm.

### Bước 3: Kiểm tra tính nguyên

Cuối cùng, kiểm tra xem \( P/\sqrt{2} \) có phải là số nguyên hay không.

Giải từng bước cụ thể sẽ giúp bạn đạt được kết quả mong muốn. Nếu cần thêm sự hỗ trợ, hãy cho tôi biết!