Để chứng minh rằng tổng \( 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100} \) chia hết cho 31, ta sẽ sử dụng công thức tổng cấp số nhân.

Tổng \( S = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100} \) có thể được tính bằng công thức tổng cấp số nhân:

\[
S = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]

Trong đó:
- \( a = 2 \) (số hạng đầu tiên),
- \( r = 2 \) (công bội),
- \( n = 100 \) (số hạng thứ 100, tức là tổng có 99 hạng từ \( 2^1 \) đến \( 2^{100} \)).

Áp dụng vào công thức, ta có:

\[
S = 2 \frac{2^{100} - 1}{2 - 1} = 2 (2^{100} - 1) = 2^{101} - 2
\]

Ta cần chứng minh rằng \( S = 2^{101} - 2 \) chia hết cho 31. Ta sẽ sử dụng định lý Fermat để làm điều này.

Theo định lý Fermat, nếu \( p \) là số nguyên tố và \( a \) không chia hết cho \( p \), thì \( a^{p-1} \equiv 1 \mod p \).

Ở đây, ta có \( a = 2 \) và \( p = 31 \). Vì \( 2^{30} \equiv 1 \mod 31 \).

Bây giờ, chúng ta tính \( 101 \mod 30 \):

\[
101 \div 30 = 3, \text{ dư } 11 \quad \Rightarrow \quad 101 \equiv 11 \mod 30
\]

Vậy:

\[
2^{101} \equiv 2^{11} \mod 31
\]

Giờ, ta tính \( 2^{11} \mod 31 \):

\[
2^1 = 2
\]
\[
2^2 = 4
\]
\[
2^4 = 16
\]
\[
2^8 \equiv 16^2 = 256 \equiv 8 \mod 31
\]
\[
2^{10} \equiv 2^8 \cdot 2^2 = 8 \cdot 4 = 32 \equiv 1 \mod 31
\]
\[
2^{11} \equiv 2^{10} \cdot 2^1 \equiv 1 \cdot 2 \equiv 2 \mod 31
\]

Vậy:

\[
2^{101} \equiv 2 \mod 31
\]

Tiếp theo, ta tính \( S = 2^{101} - 2 \):

\[
S \equiv 2 - 2 \equiv 0 \mod 31
\]

Do đó, \( S \) chia hết cho 31. Vậy ta có:

\[
\boxed{31}
\]

Tổng \( 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100} \) chia hết cho 31.