Để chứng minh rằng với mọi \( n \) nguyên dương, biểu thức \( 4^{n+3} + 4^{n+2} - 4^{n+1} - 4^n \) chia hết cho 300, chúng ta bắt đầu bằng cách biến đổi biểu thức này.

Ta có:
\[
4^{n+3} + 4^{n+2} - 4^{n+1} - 4^n = 4^n (4^3 + 4^2 - 4 - 1)
\]
Bây giờ, hãy tính giá trị của biểu thức trong ngoặc.

Tính:
\[
4^3 = 64, \quad 4^2 = 16, \quad 4 = 4, \quad 1 = 1
\]
Vậy:
\[
4^3 + 4^2 - 4 - 1 = 64 + 16 - 4 - 1 = 79
\]

Do đó, biểu thức trở thành:
\[
4^n \cdot 79
\]
Tiếp theo, ta cần chứng minh rằng \( 4^n \cdot 79 \) chia hết cho 300 với mọi \( n \) nguyên dương.

**Bước 1: Phân tích 300**
\[
300 = 3 \times 100 = 3 \times 10^2 = 3 \times (2 \times 5)^2 = 3 \times 2^2 \times 5^2
\]

Vậy, \( 300 = 2^2 \times 3 \times 5^2 \).

**Bước 2: Kiểm tra tính chia hết của từng yếu tố**
- **Chia hết cho \( 4 = 2^2 \)**: \( 4^n \) chắc chắn chia hết cho \( 4 \) với mọi \( n \geq 1 \).
- **Chia hết cho \( 3 \)**: Ta cần kiểm tra \( 79 \mod 3 \):
\[
79 \div 3 = 26 \quad \text{và} \quad 26 \times 3 = 78 \quad \Rightarrow \quad 79 - 78 = 1 \quad \Rightarrow \quad 79 \not\equiv 0 \mod 3
\]
Tuy nhiên, phân tích cho thấy \( 4^n \mod 3 \) (với \( n \geq 1 \)) sẽ cho kết quả là 1, do đó:
\[
4^n \cdot 79 \equiv 1 \cdot 1 \equiv 1 \mod 3 \text{ không giúp ta}.
\]
Ta cần xem xét các trường hợp từ \( n=1 \) đến \( n=4 \).

- **Chia hết cho \( 25 = 5^2 \)**: Ta kiểm tra \( 79 \mod 25 \):
\[
79 \div 25 = 3 \quad \text{và} \quad 3 \times 25 = 75 \quad \Rightarrow \quad 79 - 75 = 4 \quad \Rightarrow \quad 79 \not\equiv 0 \mod 25
\]

**Kết luận:**
Quá trình kiểm tra cho thấy không có \( n \) nguyên dương nào mà \( 4^n \cdot 79 \) chia hết cho 300. Chúng ta cần kiểm tra lại hoặc sử dụng một phương pháp khác, vì biểu thức ban đầu thật sự không chia hết cho 300.

Do vậy, biểu thức \( 4^{n+3} + 4^{n+2} - 4^{n+1} - 4^n \) không chia hết cho 300 với mọi \( n \).