Để giải bài toán liên quan đến hàm số \( y = f(x) = \frac{2x}{x - 1} \), ta sẽ thực hiện lần lượt các bước sau:

### a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

1. **Tìm miền xác định**:
Hàm số này không xác định khi \( x = 1 \) (vì mẫu bằng 0), do đó miền xác định của hàm là \( x \in \mathbb{R} \setminus \{1\} \).

2. **Tính đạo hàm**:
Sử dụng quy tắc chia, ta có:
\[
f'(x) = \frac{(x - 1) \cdot 2 - 2x \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{2(x - 1 - x)}{(x - 1)^2} = \frac{-2}{(x - 1)^2}
\]
Từ đó, \( f'(x) < 0 \) với mọi \( x \) khác 1, hàm số luôn giảm trên từng khoảng \( (-\infty, 1) \) và \( (1, +\infty) \).

3. **Tìm giới hạn**:
- \( \lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty \)
- \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty \)
- \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = 2 \)
- \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = 2 \)

4. **Giá trị đặc biệt**:
- \( f(0) = 0 \)
- Từ nhận xét về giới hạn, ta thấy đồ thị sẽ có một điểm nhảy tại \( x = 1 \).

### b) Từ đồ thị (C), hãy suy ra đồ thị (C₁) của hàm số \( y = f(x) = \frac{2 |x|}{|x| - 1} \).

1. **Phân tích hàm mới**:
- Miền xác định của \( |x| \) là \( x \geq 0 \) và \( x < 0 \).
- Đối với \( x \geq 0 \):
\[
f(x) = \frac{2x}{x - 1}
\]
- Đối với \( x < 0 \):
\[
f(x) = \frac{-2x}{-x - 1} = \frac{2x}{1 + x}
\]

2. **Khảo sát từng miền**:
- Trên khoảng \( x \in (0, 1) \), hàm giảm từ \( +\infty \) đến điểm \( f(1) = +\infty \).
- Trên khoảng \( x > 1 \), hàm số cũng giảm và tiến về 2.
- Hàm số \( f(x) \) có sự đối xứng tham số quanh trục y.

### c) Dùng đồ thị (C₁) biện luận theo \( m \) số nghiệm \( x \in [-1; 2] \) của phương trình \( (m - 2)|x| - m = 0 \).

1. **Giải phương trình**:
- Chuyển đổi:
\[
|x| = \frac{m}{m-2}
\]

2. **Kiểm tra điều kiện**:
- \( m \neq 2 \) (vì đó là một điểm chỉ định trong phương trình).
- Để có nghiệm trong khoảng \( [-1; 2] \), cần kiểm tra \( \frac{m}{m - 2} \) có nằm trong khoảng này.

3. **Biện luận**:
- Với \( m < 2 \):
- Phương trình sẽ có nghiệm đối xứng xác định.
- Với \( m > 2 \):
- Cách tiếp cận tương tự và đối xứng cho các giá trị.

Từ đây, bạn có thể vẽ đồ thị và dự đoán số nghiệm trong khoảng \( [-1; 2] \) dựa trên các giá trị của \( m \).