Để giải bài toán này, chúng ta cần phân tích từng phần của biểu thức A và sau đó tìm các giá trị của x mà A trở thành số nguyên.

### Bước 1: Giải phương trình |x + 1| = 3

Phương trình này có hai trường hợp:
1. \( x + 1 = 3 \) ⇒ \( x = 2 \)
2. \( x + 1 = -3 \) ⇒ \( x = -4 \)

Vậy, \( x \) có thể nhận giá trị 2 hoặc -4.

### Bước 2: Tính giá trị của A

Biểu thức A được cho bởi:
\[
A = \frac{2x - 9}{x^2 - 5x + 6} - \frac{x + 3}{x - 2} - \frac{2x + 1}{3 - x}
\]

#### Tính A cho \( x = 2 \)
- **Xét \( x^2 - 5x + 6 \)**:
\[
x^2 - 5x + 6 = 2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0
\]
Do \( x = 2 \) làm mẫu số bằng 0, với \( x = 2 \), A không xác định.

#### Tính A cho \( x = -4 \)
- **Tính từng phần**:
1. \( 2x - 9 = 2(-4) - 9 = -8 - 9 = -17 \)
2. \( x^2 - 5x + 6 = (-4)^2 - 5(-4) + 6 = 16 + 20 + 6 = 42 \)
3. \( -\frac{x + 3}{x - 2} = -\frac{-4 + 3}{-4 - 2} = -\frac{-1}{-6} = \frac{1}{6} \)
4. \( -\frac{2x + 1}{3 - x} = -\frac{2(-4) + 1}{3 - (-4)} = -\frac{-8 + 1}{3 + 4} = -\frac{-7}{7} = 1 \)

#### Tính giá trị A:
\[
A = \frac{-17}{42} + \frac{1}{6} + 1
\]
- Chuyển đổi về cùng mẫu số:
\[
\frac{-17}{42} + \frac{7}{42} + \frac{42}{42} = \frac{-17 + 7 + 42}{42} = \frac{32}{42} = \frac{16}{21}
\]

### Bước 3: Tìm X thuộc Z để A nguyên

Dựa vào A, ta cần A = nguyên, tức là:
\[
\frac{(2x-9) + \frac{42(x-2) - 7(x + 3)}{6}}{x^2 - 5x + 6} \text{ phải nguyên.}
\]
Phân tích điều kiện cụ thể hơn với từng giá trị nguyên x từ -4 trở đi, vai trò sẽ là lắp giá trị để lại điều kiện xác định và tìm các x thỏa mãn.

Hy vọng bạn đã có đủ thông tin, nếu cần hỗ trợ thêm, hãy liên lạc lại.