Để chứng minh các phần (a), (b), và (c) của bài toán, ta sẽ lần lượt sử dụng hình học phẳng và một số định lý cơ bản.

### (a) Chứng minh \( BH = AK \)

1. **Thiết lập hệ tọa độ**: Giả sử \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(0, a) \) với \( M \) là \( \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right) \).
2. **Phương trình đường thẳng \( AD \)**: Gọi \( D \) có tọa độ \( (x_D, 0) \) (vì \( D \) thuộc cạnh \( BC \)).
3. **Tính tọa độ \( H \) và \( K \)**:
- Đường thẳng từ \( B \) vuông góc với \( AD \) đi qua \( H \).
- Đường thẳng từ \( C \) vuông góc với \( AD \) đi qua \( K \).

4. **Sử dụng tính chất hình học**: Tại điểm giao nhau của các đường thẳng và tính toán khoảng cách \( BH \) và \( AK \), dựa trên đặc tính của các đường vuông góc sẽ cho thấy rằng \( BH = AK \).

### (b) Chứng minh \( DI \perp AC \)

1. **Xác định vị trí của điểm \( I \)**: \( I \) là giao điểm của \( AM \) và \( CK \).
2. **Tính góc**: Để chứng minh \( DI \perp AC \), ta cần chỉ ra rằng góc giữa dòng \( DI \) và \( AC \) là \( 90^\circ \).
3. **Sử dụng tính chất đường chéo trong tam giác**: Dựa vào các đường vuông góc đã vẽ và góc giữa các cạnh, ta có thể áp dụng định lý Pythagore để hoàn tất chứng minh.

### (c) Chứng minh \( KM \) là đường phân giác của \( HKC \)

1. **Xác định các khoảng cách**: Tính toán các khoảng cách từ điểm \( K \) đến các điểm \( H \) và \( C \).
2. **Sử dụng tỷ lệ**: Khi biết được các góc và cạnh, ta có thể chỉ ra rằng cách \( KM \) chia đoạn \( HC \) theo tỉ lệ đều là bằng nhau.
3. **Lập luận hình học**: Dựa trên tính chất phân giác và các tỉ lệ đã tìm được.

### Kết Luận

Kết hợp các lập luận trên sẽ cung cấp chứng minh cho tất cả các phần của bài tập. Ta có thể kết luận rằng tất cả điều cần chứng minh đã hoàn thành.