Để tính tổng \(x + y\) với điều kiện \( \cot x = \frac{4}{3} \) và \( \cot y = 7 \), trước hết chúng ta sẽ biểu diễn các góc \(x\) và \(y\) thông qua tang:

\[
\tan x = \frac{1}{\cot x} = \frac{3}{4}
\]
\[
\tan y = \frac{1}{\cot y} = \frac{1}{7}
\]

Tiếp theo, chúng ta sử dụng công thức tang của tổng hai góc:
\[
\tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}
\]

Thay các giá trị vào:
\[
\tan(x + y) = \frac{\frac{3}{4} + \frac{1}{7}}{1 - \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{7}\right)}
\]

Tiến hành tính toán:
1. Tính \(\tan x + \tan y\):
\[
\tan x + \tan y = \frac{3}{4} + \frac{1}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 1 \cdot 4}{4 \cdot 7} = \frac{21 + 4}{28} = \frac{25}{28}
\]

2. Tính \(1 - \tan x \tan y\):
\[
\tan x \tan y = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{7} = \frac{3}{28}
\]
\[
1 - \tan x \tan y = 1 - \frac{3}{28} = \frac{28 - 3}{28} = \frac{25}{28}
\]

3. Thay vào công thức:
\[
\tan(x + y) = \frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}} = 1
\]

Khi \( \tan(x + y) = 1 \), điều này có nghĩa là:
\[
x + y = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
Trong trường hợp \(x\) và \(y\) là các góc nhọn (trong khoảng \(0\) đến \(\frac{\pi}{2}\)), ta có:
\[
x + y = \frac{\pi}{4}
\]

Vậy tổng \(x + y\) là:
\[
\boxed{\frac{\pi}{4}}
\]