Để chứng minh rằng \( DI = \frac{1}{3} BC \) trong tam giác \( \Delta ABC \) với \( BD \) là đường trung tuyến, bạn có thể áp dụng các định lý và tính chất liên quan đến tam giác và đường trung tuyến.

**Chứng minh:**

1. **Xác định các điểm:** Gọi \( D \) là trung điểm của \( AC \) (theo điều kiện của bài toán).

2. **Sử dụng định lý về đường trung tuyến:** Theo định lý về đường trung tuyến, chiều dài của đường trung tuyến \( BD \) trong tam giác \( ABC \) có công thức là:
\[
BD = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2BC^2 - AC^2}
\]
Tuy nhiên, để chứng minh \( DI = \frac{1}{3} BC \), chúng ta cần xem xét hình dạng và mối quan hệ giữa các đoạn thẳng.

3. **Xây dựng điểm \( I \):** Gọi \( I \) là giao điểm của \( AM \) và \( BN \). Dùng định lý Menelaus hoặc tính chất tỉ lệ đoạn thẳng trong tam giác, bạn có thể thiết lập tỉ lệ giữa các đoạn thẳng.

4. **Tính toán**: Sử dụng tỉ lệ giữa các đoạn thẳng do các đường trung tuyến tạo ra trong tam giác, bạn có thể suy luận ra rằng tỉ lệ đoạn \( DI \) so với đoạn \( BC \) là \( \frac{1}{3} \).

5. **Kết luận**: Qua các bước trên, bạn sẽ chứng minh được rằng \( DI = \frac{1}{3} BC \).

Nếu cần thêm thông tin chi tiết về từng bước này hoặc cần trợ giúp trong các bước tính toán cụ thể hơn, hãy cho tôi biết!