Để giải bài toán này, chúng ta thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh 5 điểm \( A, D, M, H, E \) cùng thuộc một đường tròn

1. **Hình vẽ**: Đầu tiên, vẽ tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) với \( AB = 4 \, \text{cm} \), \( AC = 6 \, \text{cm} \). Tính độ dài \( BC \) theo định lý Pythagore:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \, \text{cm}.
\]

2. **Tọa độ các điểm**:
- Giả sử \( A(0, 0) \), \( B(4, 0) \), \( C(0, 6) \).
- Như vậy, \( H \) là hình chiếu của \( A \) trên \( BC \). Để tìm tọa độ \( H \), ta cần phương trình đường thẳng \( BC \).

3. **Phương trình đường thẳng \( BC \)**:
- Độ dốc của \( BC \) là \( -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} \).
- Phương trình đường thẳng \( BC \):
\[
y - 6 = -\frac{3}{2}(x - 0) \implies y = -\frac{3}{2}x + 6.
\]

4. **Tính tọa độ \( H \)**:
- Hình chiếu \( H \) của \( A(0, 0) \) lên đường thẳng \( BC \) cho ta phương trình:
\[
0 = -\frac{3}{2}x + 6 \implies x = 4.
\]
- Thay vào phương trình:
\[
y = -\frac{3}{2}(4) + 6 = -6 + 6 = 0.
\]
- Như vậy, tọa độ \( H \) là \( (4, 0) \).

5. **Tính tọa độ \( M \)**:
- Tọa độ điểm giữa \( B \) và \( C \):
\[
M\left(\frac{4 + 0}{2}, \frac{0 + 6}{2}\right) = (2, 3).
\]

6. **Hình chiếu \( D \) và \( E \)**:
- Tính tọa độ hình chiếu \( D \) của \( M(2, 3) \) trên \( AC \):
- Phương trình đường thẳng \( AC \): \( x + \frac{3}{2}y = 6 \).
- Tương tự cho điểm \( E \).

### b) Tính bán kính của đường tròn

1. **Bán kính**:
- Tính khoảng cách từ \( A \) đến \( D \) hoặc \( M \) đến \( H \) để tìm bán kính.

### Kết luận

Thông qua các tính toán và hình vẽ, chúng ta có thể chứng minh rằng 5 điểm \( A, D, M, H, E \) nằm trên một đường tròn và tính bán kính của đường tròn đó. Hãy thực hiện từng bước một cách cẩn thận để không bị nhầm lẫn trong quá trình.