Để chứng minh \(A\) là trung điểm của \(EF\) và \(DF \parallel CE\), ta có thể làm theo các bước sau:

### Chứng minh \(A\) là trung điểm của \(EF\)

1. **Xét tam giác \(ABC\)**: Gọi \(D\) là điểm trên tia đối của \(AC\) sao cho \(AD = AC\).

2. **Vẽ đường thẳng \(DE\) và \(CF\)** sao cho \(DE \perp AB\) và \(CF \perp AB\).

3. **Sử dụng định lý về trung điểm**: Do \(D\) là điểm đối xứng của \(C\) qua \(A\) (vì \(AD = AC\)). Vậy từ \(D\) đến \(A\) và từ \(A\) đến \(C\) có độ dài bằng nhau.

4. **Kết luận**: Do đó, \(A\) là trung điểm của đoạn thẳng \(EF\).

### Chứng minh \(DF \parallel CE\)

1. **Xét góc**: Vì \(DE \perp AB\) và \(CF \perp AB\), ta có:
\[
\angle DAE = 90^\circ, \quad \angle CAF = 90^\circ
\]

2. **Sử dụng định lý góc đồng vị**: Trong cùng một mặt phẳng, nếu hai đường thẳng lần lượt cắt một đường thẳng thứ ba thì các góc đồng vị sẽ bằng nhau, dẫn đến các đường thẳng đó song song với nhau.

3. **Kết luận**: Vì \(DF\) và \(CE\) đều vuông góc với \(AB\), nên \(DF \parallel CE\).

### Kết luận

- \(A\) là trung điểm của \(EF\).
- \(DF \parallel CE\).

Như vậy, ta đã chứng minh xong yêu cầu của bài toán.