Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các khái niệm về năng lượng cơ học, bao gồm thế năng (Ep) và động năng (Ek).

1. **a. Tìm vận tốc viên bi khi đi được nửa dốc.**

Khi viên bi ở vị trí nửa dốc (tức là cách mặt đất 20cm), nó sẽ có phần thế năng và động năng.

- Thế năng tại đỉnh (Ep_initial) khi viên bi ở đỉnh dốc:
\[
Ep_{\text{initial}} = mgh = mg \cdot 0.4 \, \text{m}
\]

- Thế năng tại nửa dốc (Ep_half) khi viên bi ở 20cm:
\[
Ep_{\text{half}} = mg \cdot 0.2 \, \text{m}
\]

- Động năng tại nửa dốc (Ek_half) là:
\[
Ek_{\text{half}} = \frac{1}{2} mv^2
\]

Theo định luật bảo toàn năng lượng:
\[
Ep_{\text{initial}} = Ek_{\text{half}} + Ep_{\text{half}}
\]

Thay vào, ta có:
\[
mg \cdot 0.4 = \frac{1}{2} mv^2 + mg \cdot 0.2
\]
Rút g, m ra ngoài, ta có:
\[
0.4g = \frac{1}{2}v^2 + 0.2g
\]

Giải phương trình trên:
\[
0.4g - 0.2g = \frac{1}{2}v^2
\]
\[
0.2g = \frac{1}{2}v^2
\]
\[
0.4g = v^2
\]

Thay \( g = 10 \):
\[
0.4 \cdot 10 = v^2
\]
\[
4 = v^2 \implies v = 2 \, \text{m/s}
\]

=> Vận tốc viên bi khi đi được nửa dốc là **2 m/s**.

2. **b. Tìm vận tốc viên bi tại chân dốc.**

Tại chân dốc (khi viên bi chạm đất), toàn bộ thế năng chuyển thành động năng.

- Thế năng tại đỉnh (Ep_initial):
\[
Ep_{\text{initial}} = mg \cdot 0.4\, \text{m}
\]

- Động năng tại chân dốc (Ek_final):
\[
Ek_{\text{final}} = \frac{1}{2} mv^2
\]

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng:
\[
mg \cdot 0.4 = \frac{1}{2} mv^2
\]

Rút g, m ra ngoài:
\[
0.4g = \frac{1}{2}v^2
\]
\[
v^2 = 0.8g
\]
Thay \( g = 10 \):
\[
v^2 = 0.8 \cdot 10 = 8 \implies v = \sqrt{8} \approx 2.83 \, \text{m/s}
\]

=> Vận tốc viên bi tại chân dốc là khoảng **2.83 m/s**.

3. **c. Ở vị trí nào trên dốc thì thế năng của viên bi bằng 3 lần động năng của nó? Tìm vận tốc của viên bi khi đó?**

Giả sử viên bi ở độ cao \( h \) trên dốc. Ta có:
- Thế năng:
\[
Ep = mgh
\]
- Động năng:
\[
Ek = \frac{1}{2} mv^2
\]

Theo đề bài, ta có:
\[
Ep = 3 \cdot Ek
\]
=>
\[
mgh = 3 \cdot \frac{1}{2} mv^2
\]

Rút g, m ra ngoài:
\[
h = \frac{3}{2} v^2 \implies v^2 = \frac{2h}{3}
\]

Và \( h \) có thể tính từ chiều cao dốc 40cm:
Tổng kết lại, tại độ cao \( h \) trên dốc, sẽ có:
\[
h = 0.4 - 0.2 h \implies 0.4 = 1.2h \implies h = \frac{0.4}{1.2} \approx 0.333 \, \text{m} \implies h = 33.33 \, \text{cm}
\]

Thay h vào phương trình ta đã có:
\[
v^2 = \frac{2 \cdot 0.333}{3} = \frac{0.666}{3} \approx 0.222 \implies v \approx 0.47 \, \text{m/s}
\]

=> Ở vị trí cách mặt đất 33.33 cm, thế năng bằng 3 lần động năng, và vận tốc của viên bi khi đó là khoảng **0.47 m/s**.