Để giải bài toán này, ta gọi độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông lần lượt là \( a \) và \( b \). Theo đề bài, ta có các điều kiện:

1. \( a^2 + b^2 = 20^2 = 400 \) (theo định lý Pythagore)
2. \( |a - b| = 4 \)

Giả sử \( a = b + 4 \) (giả sử \( a \) lớn hơn \( b \)). Thay vào phương trình đầu tiên:

\[
(b + 4)^2 + b^2 = 400
\]

Giải phương trình:

\[
(b^2 + 8b + 16) + b^2 = 400
\]
\[
2b^2 + 8b + 16 = 400
\]
\[
2b^2 + 8b - 384 = 0
\]
\[
b^2 + 4b - 192 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
b = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
b = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 768}}{2}
\]
\[
b = \frac{-4 \pm \sqrt{784}}{2}
\]
\[
b = \frac{-4 \pm 28}{2}
\]

Tính toán hai giá trị:

1. \( b = \frac{24}{2} = 12 \)
2. \( b = \frac{-32}{2} \) (không hợp lệ vì độ dài không âm)

Vậy \( b = 12 \). Do đó:

\[
a = b + 4 = 12 + 4 = 16
\]

Kết luận, một trong hai cạnh góc vuông của tam giác vuông là \( 12 \) cm hoặc \( 16 \) cm.