So sánh a-1/a + căn a với 1

Chúng ta sẽ so sánh biểu thức \( \frac{a-1}{a} + \sqrt{a} \) với 1 bằng cách biến đổi và phân tích theo các trường hợp của \( a \).

Đầu tiên, ta viết lại bất phương trình:

\[
\frac{a-1}{a} + \sqrt{a} > 1
\]

Ta biến đổi biểu thức này:

\[
\frac{a-1}{a} + \sqrt{a} - 1 > 0
\]

Tương đương với:

\[
\frac{a-1}{a} + \sqrt{a} - \frac{a}{a} > 0
\]

Kết hợp các thức lại:

\[
\frac{a-1-a + a\sqrt{a}}{a} > 0
\]

Đơn giản:

\[
\frac{-1 + a\sqrt{a}}{a} > 0
\]

Điều này tương đương với:

\[
-1 + a\sqrt{a} > 0
\]

Hay:

\[
a\sqrt{a} > 1
\]

Ta có được bất phương trình:

\[
a^{3/2} > 1
\]

Khi đó, điều này đúng khi \( a > 1 \).

Vậy ta có kết luận:

- **Nếu \( a > 1 \)**: \(\frac{a-1}{a} + \sqrt{a} > 1\)
- **Nếu \( a = 1 \)**: \(\frac{1-1}{1} + \sqrt{1} = 0 + 1 = 1\)
- **Nếu \( 0 < a < 1 \)**: \(\frac{a-1}{a} + \sqrt{a} \leq 0\) (vì \(\sqrt{a} < 1\) trong trường hợp này và \(\frac{a-1}{a} < 0\)).

Do đó, ta có thể tóm tắt kết quả như sau:

- Nếu \( a > 1 \), thì \( \frac{a-1}{a} + \sqrt{a} > 1 \).
- Nếu \( a = 1 \), thì \( \frac{a-1}{a} + \sqrt{a} = 1 \).
- Nếu \( 0 < a < 1 \), thì \( \frac{a-1}{a} + \sqrt{a} < 1 \).

Chúc bạn thành công!