Để tính diện tích của hình thang cân, ta dùng công thức:

\[
S = \frac{(b_1 + b_2) \times h}{2}
\]

Trong đó:
- \(b_1\) và \(b_2\) là độ dài hai đáy (trong trường hợp này là 12 cm và 40 cm)
- \(h\) là chiều cao

Trong hình thang cân MNPQ, với góc \(MQP = 45^\circ\), ta có thể tính chiều cao bằng cách sử dụng tam giác vuông.

Giả sử:
- \(d_1 = 12 \, \text{cm}\) là đáy nhỏ
- \(d_2 = 40 \, \text{cm}\) là đáy lớn

Chiều cao \(h\) có thể được xác định bằng cách:

\[
h = d \cdot \sin(45^\circ) = d \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Với \(d\) là đường cao từ điểm giữa các đáy (hôn độ dài hai đáy). Ta cần tính độ dài của đoạn thẳng từ đáy nhỏ đến đáy lớn.

Sử dụng chiều dài của đáy lớn và nhỏ, ta có thể biểu diễn đoạn thẳng như sau:
\[
d = \frac{d_2 - d_1}{2} = \frac{40 - 12}{2} = 14 \, \text{cm}
\]

Vì vậy,
\[
h = 14 \times \sin(45^\circ) = 14 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 14 \times 0.707 = 9.9 \, \text{cm} \, (xấp xỉ)
\]

Áp dụng vào công thức tính diện tích:

\[
S = \frac{(12 + 40) \times h}{2} \approx \frac{52 \times 9.9}{2} \approx 257.4 \, \text{cm}^2
\]

Vậy diện tích của hình thang cân \(MNQP\) là khoảng \(257.4 \, \text{cm}^2\).