Để giải bài toán này, chúng ta sẽ bắt đầu từ các định nghĩa và tính chất của các điểm và tứ giác đã cho.

### a. Chứng minh tứ giác \(MNAI\) là hình bình hành

1. **Trung điểm**:
- Ta biết \(I\) là trung điểm của \(MP\), nên \(MI = IP\).
- \(K\) là trung điểm của \(NI\), nên \(NK = KI\).

2. **Điểm \(A\)**:
- Ta có \(KA = KM\), theo định nghĩa trong bài.
- Vì \(K\) là trung điểm của \(NI\), nên ta có \(NK = KI\).

3. **Sử dụng tính chất hình bình hành**:
- Ta cần chứng minh rằng \(MA \parallel NI\) và \(MN \parallel AI\).
- \(MA\) là một đoạn thẳng với \(M\) và \(A\) (vì A nằm trên tia đối của \(KM\)), có cùng chiều với \(NI\) (là trung đường nối giữa \(M\) và \(P\)).
- Ta có thể thấy rằng \(MN \parallel AI\) vì \(MN\) là cạnh của tam giác vuông \(MNP\).

Do đó, tứ giác \(MNAI\) có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau (i.e. \(MA = NI\) và \(AN = MI\)) nên \(MNAI\) là hình bình hành.

### b. Chứng minh tứ giác \(NAPI\) là hình gì

1. **Căn cứ đã chứng minh ở phần a**: Tứ giác \(MNAI\) là hình bình hành.
2. **Đặc điểm của hình bình hành**: Trong một hình bình hành, hai cặp cạnh đối song song có chiều dài bằng nhau.
3. **Hình tứ giác \(NAPI\) và từ những điểm đã có**:
- Do \(A\) nằm trên tia đối của \(KM\) và có \(KA = KM\), mà \(M\) và \(P\) được đối xứng qua \(I\), nên \(NA\) song song với \(PI\).

Tứ giác \(NAPI\) có một cặp cạnh đối song song (\(NA \parallel PI\)) và chiều dài của chúng (được xác định bởi các tính chất đối xứng và đồng nhất) cho thấy rằng \(NAPI\) là hình thang.

### c. Chứng minh rằng \(K\) là trung điểm của \(EF\)

1. **Gọi \(E\) là trung điểm của \(MN\)**, do đó \(ME = EN\).
2. **Gọi \(F\)** là giao điểm của \(AI\) và \(NP\).
3. **Vì \(K\) là trung điểm của \(NI\)**:
- Ta có \(NK = KI\).

4. **Để chứng minh rằng \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(EF\)**:
- Ta có \(MNAI\) là hình bình hành, và từ tính chất của hình bình hành, ta có các vị trí tương đối của các điểm.
- Do đó, số đo đoạn thẳng \(EF\) sẽ được chia đều bởi các đoạn từ các trung điểm khác.

Vậy, qua các tính chất của các điểm mà ta đã có, ta có thể kết luận rằng \(K\) chính là trung điểm của đoạn thẳng \(EF\).

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành các yêu cầu của bài toán.