Để giải bài toán, ta sẽ sử dụng định lý sin và các tính chất của tam giác vuông.

### Phần 1: Tam giác ABC vuông tại A, có AC = 10 cm, góc C = 60°.
1. **Tính góc B:**
- Vì tam giác ABC vuông tại A, ta có:
\[
góc A + góc B + góc C = 90°.
\]
- Trong đó \( góc C = 60° \), nên:
\[
góc A + góc B = 90° - 60° = 30°.
\]
- Do đó, \( góc B = 30° \).

2. **Tính AB:**
- Sử dụng định lý sin trong tam giác vuông:
\[
\frac{AC}{\sin(B)} = \frac{AB}{\sin(C)} = \frac{BC}{\sin(A)}.
\]
- Với \( \sin(B) = \sin(30°) = 0.5 \) và \( \sin(C) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \):
\[
\frac{AC}{\sin(B)} = \frac{10}{0.5} = 20.
\]
\[
AB = 20 \cdot \sin(C) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \text{ cm } \approx 17.32 \text{ cm.}
\]

3. **Tính BC:**
- Từ định lý sin:
\[
BC = 20 \cdot \sin(A).
\]
- Với \( \sin(A) = \sin(90° - C) = \cos(60°) = \frac{1}{2} \):
\[
BC = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10 \text{ cm.}
\]

### Tóm tắt phần 1:
- Góc B: \( 30° \)
- AB: \( 10\sqrt{3} \approx 17.32 \) cm
- BC: \( 10 \) cm

---

### Phần 2: Tam giác ABC có đường cao AH = 6 cm, góc B = 40°.
1. **Tính AB:**
- Dựa vào hình vẽ và định lý liên quan đến đường cao trong tam giác vuông, ta có:
\[
AH = AB \cdot \sin(B).
\]
- Suy ra:
\[
AB = \frac{AH}{\sin(B)} = \frac{6}{\sin(40°)}.
\]
- Tính \( \sin(40°) \approx 0.6428 \):
\[
AB \approx \frac{6}{0.6428} \approx 9.33 \text{ cm.}
\]

2. **Tính BH và CH:**
- \( BH = AB \cdot \cos(B) = 9.33 \cdot \cos(40°) \).
- Vì \( \cos(40°) \approx 0.7660 \):
\[
BH \approx 9.33 \cdot 0.7660 \approx 7.15 \text{ cm.}
\]
- Sử dụng định lý Pythagoras để tính \( CH \):
\[
CH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{(9.33)^2 - 6^2} \approx \sqrt{87.07 - 36} \approx \sqrt{51.07} \approx 7.14 \text{ cm.}
\]

3. **Tính AC:**
- Trong tam giác vuông sẽ có:
\[
AC = AH + CH \approx 6 + 7.14 \approx 13.14 \text{ cm.}
\]

### Tóm tắt phần 2:
- AB: \( \approx 9.33 \) cm
- BH: \( \approx 7.15 \) cm
- CH: \( \approx 7.14 \) cm
- AC: \( \approx 13.14 \) cm

Hy vọng các kết quả trên sẽ giúp ích cho bạn!