Tìm x, y thuộc N thỏa mãn: x^3 = y^3 + 2y^2 + y + 4

Để giải phương trình \( x^3 = y^3 + 2y^2 + y + 4 \) với \( x, y \in \mathbb{N} \), ta có thể tiến hành phân tích và thử các giá trị của \( y \).

Bắt đầu từ phương trình, chúng ta có thể chuyển đổi nó như sau:

\[
x^3 - y^3 = 2y^2 + y + 4
\]

Chúng ta biết rằng \( x^3 - y^3 \) có thể được phân tích thành \( (x - y)(x^2 + xy + y^2) \). Do đó, ta có:

\[
(x - y)(x^2 + xy + y^2) = 2y^2 + y + 4
\]

Tiếp theo, thử một số giá trị cho \( y \):

- **Nếu \( y = 0 \):**
\[
x^3 = 0 + 0 + 0 + 4 \Rightarrow x^3 = 4 \Rightarrow x = \sqrt[3]{4} \text{ (không thuộc N)}
\]

- **Nếu \( y = 1 \):**
\[
x^3 = 1 + 2 + 1 + 4 = 8 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = 2
\]

- **Nếu \( y = 2 \):**
\[
x^3 = 8 + 8 + 2 + 4 = 22 \Rightarrow x^3 = 22 \Rightarrow x = \sqrt[3]{22} \text{ (không thuộc N)}
\]

- **Nếu \( y = 3 \):**
\[
x^3 = 27 + 18 + 3 + 4 = 52 \Rightarrow x^3 = 52 \Rightarrow x = \sqrt[3]{52} \text{ (không thuộc N)}
\]

- **Nếu \( y = 4 \):**
\[
x^3 = 64 + 32 + 4 + 4 = 104 \Rightarrow x^3 = 104 \Rightarrow x = \sqrt[3]{104} \text{ (không thuộc N)}
\]

- **Nếu \( y = 5 \):**
\[
x^3 = 125 + 50 + 5 + 4 = 184 \Rightarrow x^3 = 184 \Rightarrow x = \sqrt[3]{184} \text{ (không thuộc N)}
\]

- **Nếu \( y = 6 \):**
\[
x^3 = 216 + 72 + 6 + 4 = 298 \Rightarrow x^3 = 298 \Rightarrow x = \sqrt[3]{298} \text{ (không thuộc N)}
\]

Ta thấy rằng với \( y = 1 \), ta tìm được nghiệm:

\[
(x, y) = (2, 1)
\]

Kiểm tra các giá trị lớn hơn sẽ tiếp tục không tìm ra nghiệm nguyên dương khác. Do đó nghiệm duy nhất của phương trình là:

\[
(x, y) = (2, 1)
\]