Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh 12 cm, các bước giải quyết bài toán như sau:

### a) Tính độ dài DE

1. **Chọn hệ tọa độ**:
- Gọi A(0, 12), B(12, 12), C(12, 0), D(0, 0).

2. **Tọa độ điểm E**:
- E có tọa độ (3, 12) do BE = 3 cm.

3. **Xác định phương trình đường thẳng DE**:
- Đường thẳng DE sẽ có độ dốc được tính từ điểm D(0, 0) đến E(3, 12):
\[
\text{Độ dốc} = \frac{y_E - y_D}{x_E - x_D} = \frac{12 - 0}{3 - 0} = 4.
\]
- Phương trình DE:
\[
y = 4x.
\]

4. **Tìm giao điểm K** của DE với CB kéo dài:
- Phương trình đường thẳng CB (x = 12).
- Thay x = 12 vào phương trình DE:
\[
y = 4(12) = 48.
\]
- Vậy K(12, 48).

5. **Tính DE**:
\[
DE = \sqrt{(3 - 0)^2 + (12 - 0)^2} = \sqrt{9 + 144} = \sqrt{153} = 3\sqrt{17}.
\]

### b) Chứng minh tam giác EAD ~ tam giác EBK

- **Tính các góc**:
- ∠EAD và ∠EBK đều là góc vuông.
- ∠ADE = ∠KBE do chúng đối đỉnh.

- **Áp dụng tiêu chuẩn đồng dạng**:
- Tam giác EAD ~ EBK.

### c) Chứng minh \( AD^2 = KC \cdot AE \)

1. **Tính độ dài CA** và AE:
- AE = DE = \( 3\sqrt{17} \).
- KC = CK - 12 = 48 - 0 = 48.

2. **Chứng minh**:
- \( AD = 12 \).
- \( AD^2 = 12^2 = 144 \).
- \( KC \cdot AE = 48 \cdot 3\sqrt{17} \).

### d) Tính diện tích tam giác CDK

1. **Tọa độ các điểm**:
- C(12, 0), D(0, 0), K(12, 48).

2. **Diện tích tam giác**:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DK = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 48.
\]
\[
S = 288 \text{ cm}^2.
\]

Tóm lại, các kết quả đạt được là:
- \( DE = 3\sqrt{17} \),
- \( AD^2 = KC \cdot AE \),
- Diện tích tam giác CDK là 288 cm².