Để tìm ước chung của hai biểu thức \(2n + 1\) và \(3n + 1\) với \(n \in \mathbb{N}\), chúng ta sẽ kiểm tra các giá trị khác nhau của \(n\) và xác định ước chung lớn nhất.

### Bước 1: Tính giá trị của hai biểu thức cho các giá trị của \(n\)

- Khi \(n = 1\):
\[
2n + 1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3
\]
\[
3n + 1 = 3 \cdot 1 + 1 = 4
\]

- Khi \(n = 2\):
\[
2n + 1 = 2 \cdot 2 + 1 = 5
\]
\[
3n + 1 = 3 \cdot 2 + 1 = 7
\]

- Khi \(n = 3\):
\[
2n + 1 = 2 \cdot 3 + 1 = 7
\]
\[
3n + 1 = 3 \cdot 3 + 1 = 10
\]

- Khi \(n = 4\):
\[
2n + 1 = 2 \cdot 4 + 1 = 9
\]
\[
3n + 1 = 3 \cdot 4 + 1 = 13
\]

### Bước 2: Tìm ước chung cho các cặp số

Chúng ta cần tìm ước chung của các cặp số thu được:

- Với \(n = 1\): ước chung của \(3\) và \(4\) là \(1\).
- Với \(n = 2\): ước chung của \(5\) và \(7\) là \(1\).
- Với \(n = 3\): ước chung của \(7\) và \(10\) là \(1\).
- Với \(n = 4\): ước chung của \(9\) và \(13\) là \(1\).

### Kết luận

Đối với mọi giá trị của \(n \in \mathbb{N}\), ước chung lớn nhất (UCLN) của \(2n + 1\) và \(3n + 1\) luôn là \(1\). Do đó, ta có thể kết luận rằng:

\[
\text{UCLN}(2n + 1, 3n + 1) = 1 \quad \text{với } n \in \mathbb{N}
\]