Để rút gọn biểu thức \( P \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Tìm mẫu số chung**: Đảm bảo rằng tất cả các phân số trong biểu thức có cùng mẫu số.
2. **Rút gọn các biểu thức**: Thực hiện các phép biến đổi đại số để tìm ra dạng đơn giản hơn của \( P \).

\[
P = \left( \frac{2+\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}} \cdot \frac{4x}{x-4} \cdot \frac{2-\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}} \right) \cdot \left( \frac{x-3\sqrt{x}}{2x-\sqrt{x^3}} \right)
\]

3. **Thực hiện biến đổi**: Ta có thể thay \(\sqrt{x} = t\), từ đó \( x = t^2 \). Sau khi thay, ta sẽ dễ dàng hơn trong việc thực hiện các phép tính.

4. **Tìm các số nguyên của \( x \)**: Sau khi rút gọn, để tìm các giá trị của \( x \) mà \( P \) chia hết cho 4, ta cần phân tích \( P \) đã rút gọn xem nó có thể chia hết cho 4 hay không, thường là xác định điều kiện cho các mảnh của biểu thức.

Cuối cùng, các số nguyên của \( x \) để đảm bảo \( P \) chia hết cho 4 sẽ phụ thuộc vào các điều kiện đã rút gọn. Bạn cần giải phương trình và kiểm tra các giá trị nguyên tương ứng.

Nếu bạn cần thêm chi tiết về từng bước cụ thể trong việc rút gọn hoặc tìm các giá trị \( x \), hãy cho tôi biết!