Trong tam giác ABC vuông cân tại A, điểm M di động trên cạnh BC. Ta có thể giải bài toán này như sau:

1. **Tìm điểm I sao cho AI vuông góc với BC**:

Ta có tam giác ABC vuông cân tại A, với AB = AC. Gọi I là chân đường vuông góc từ A đến BC. Do tam giác ABC vuông cân tại A nên điểm I sẽ là trung điểm của BC. Vậy ta có:

- \( M \) di động trên đoạn \( BC \).
- \( I \) là trung điểm của đoạn \( BC \).

Do đó, ta sẽ so sánh độ dài \( AM \) và \( AI \):
- \( AI \) sẽ là đoạn từ A đến trung điểm của BC,
- \( AM \) là đoạn từ A đến một điểm bất kỳ M trên BC.

Vì I là trung điểm, ta có thể nói rằng \( AI \leq AM \) cho mọi M trên đoạn BC. Đoạn AI sẽ có giá trị nhỏ nhất tại điểm I, còn đoạn AM sẽ thay đổi tùy thuộc vào vị trí của M.

2. **Xác định vị trí M trên BC để AM nhỏ nhất**:

Để AM nhỏ nhất, rõ ràng rằng điểm M phải nằm ở vị trí gần nhất với điểm A trong tam giác. Vì I là trung điểm của đoạn BC, độ dài AM sẽ nhỏ nhất khi M trùng với I.

Vậy, để AM nhỏ nhất, M cần phải là trung điểm của BC, chính là điểm I. Kết luận:

- **M phải ở vị trí trung điểm I trên BC để độ dài AM đạt giá trị nhỏ nhất.**

Hy vọng rằng bạn hiểu rõ về bài toán này và có thể áp dụng các kiến thức hình học để giải quyết các bài toán tương tự!