Để chứng minh các đẳng thức đã cho trong tam giác vuông ABC như mô tả, chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa của các hàm lượng giác cơ bản, bao gồm sin, cos, tan, cot, cùng với các định lý liên quan.

1) **Chứng minh \( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \)**:

Theo định nghĩa, cotang của một góc là tỉ số của cos và sin:
\[
\cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x}
\]
Vậy đẳng thức này được chứng minh.

2) **Chứng minh \( \tan x \cdot \cot x = 1 \)**:

Sử dụng định nghĩa của tan và cot:
\[
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \quad \text{và} \quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}
\]
Khi nhân hai tỉ số lại với nhau:
\[
\tan x \cdot \cot x = \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right) \cdot \left( \frac{\cos x}{\sin x} \right) = \frac{\sin x \cdot \cos x}{\cos x \cdot \sin x} = 1
\]
Vậy đẳng thức này cũng được chứng minh.

3) **Chứng minh \( \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \)**:

Bắt đầu từ định nghĩa của tan:
\[
\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}
\]
Vậy:
\[
1 + \tan^2 x = 1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}
\]
Theo định lý Pythagoras, ta có:
\[
\cos^2 x + \sin^2 x = 1
\]
Thay vào biểu thức trên:
\[
1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}
\]
Vậy đẳng thức này cũng được chứng minh.

4) **Chứng minh \( \frac{1}{\sin^2 x} = 1 + \cot^2 x \)**:

Tương tự như trên, chúng ta bắt đầu từ định nghĩa của cot:
\[
\cot^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}
\]
Vì vậy:
\[
1 + \cot^2 x = 1 + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x}
\]
Áp dụng định lý Pythagoras ta có:
\[
\sin^2 x + \cos^2 x = 1
\]
Thay vào biểu thức trên:
\[
1 + \cot^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}
\]
Vậy đẳng thức này cũng được chứng minh.

Tóm lại, cả bốn đẳng thức đã được chứng minh đúng.