Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng một số công thức hình học cơ bản.

### a) Tính diện tích tam giác ABD

Diện tích của tam giác có thể tính bằng công thức:

\[
\text{Diện tích} = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao}
\]

Trong tam giác ABD, chúng ta có thể coi AD là đáy (AD nằm trên AC) và chiều cao AH là từ điểm B (trên hạ chiều cao h) xuống AD. Nhưng trước khi làm, chúng ta cần xác định độ dài của AD.

- Ta biết AC được chia thành hai đoạn là AD và DC, với \(AD = \frac{1}{3} AC\).
- Gọi độ dài của AC là x, thì \(AD = \frac{1}{3} x\) và \(DC = \frac{2}{3} x\).

Bây giờ, áp dụng công thức tính diện tích:

\[
S_{ABD} = \frac{1}{2} \times AD \times AH
\]

Tuy nhiên, chúng ta không biết \(AD\) và \(AC\) mà chỉ biết chiều cao AH = 6 cm. Chúng ta có thể tính toán qua tỉ lệ.

Từ phương trình của chiều cao và chiều dài BD, chúng ta có:

\[
BD = 8 cm
\]

Do đó, diện tích tam giác ABD sẽ được tính bằng cách chúng ta cần xác định AD trước.

Chúng ta không có đủ thông tin để tìm AD, nhưng nếu giả định \(AD + DC = AC\), chúng ta vẫn có thể sử dụng thông tin về chiều cao và chiều dài BD để tiếp tục.

Do vậy, chiều dài AC cần được xác định. Nếu AC = x, thì AD = \(\frac{1}{3}x\).

Giả sử AC = 3h, vậy AD = h.

Thay vào, chúng ta tính được:

\[
S_{ABD} = \frac{1}{2} (h)(6)
\]

Vẫn cần thêm thông tin cụ thể của AC. Nhưng nếu \(AC = 3 \cdot 1\), thì kích thước sẽ là nhỏ hơn đơn vị.

### b) Tính độ dài đoạn thẳng CE

Đoạn thẳng CE là chiều cao từ C vuông góc xuống đường thẳng BD. Để xác định chiều cao CE trong tam giác ABC:

* Sử dụng hệ thức:

\[
CD^2 + CE^2 = AC^2 \rightarrow \text{với các góc và độ dài BD}
\]

* Dùng định lý Pythagore:

\[
CE = \sqrt{BC^2 - BD^2}
\]

* Ta biết BC = 14 cm và BD = 8 cm, ta thay vào:

\[
CE = \sqrt{14^2 - 8^2} = \sqrt{196 - 64} = \sqrt{132}
\]

Tính nghiệm thực tế:

\[
CE = \sqrt{132} \approx 11.49 \text{ cm}
\]

Do đó, diện tích tam giác ABD chưa được xác định cụ thể, nhưng sẽ giao động dựa trên chiều cao và chiều dài. Nếu cần chính xác, thì cần có độ dài AC hoặc tiêu chuẩn khác.

Hy vọng rằng những thông tin trên sẽ giúp ích cho bạn trong việc giải bài toán!