Để phân tích đa thức đã cho thành nhân tử, ta sẽ thực hiện các bước sau:

Đa thức:
\[ x^2 + 4x + 4y^2 - 4(x + 2y) + 3 \]

1. **Rút gọn biểu thức**:
Ta bắt đầu bằng cách mở dấu ngoặc và thu gọn các hạng tử:
\[
x^2 + 4x + 4y^2 - 4x - 8y + 3
\]
Còn lại:
\[
x^2 + 4y^2 - 8y + 3
\]

2. **Nhóm các hạng tử**:
Khoanh vùng các hạng tử liên quan:
\[
x^2 + (4y^2 - 8y) + 3
\]

3. **Phân tích hạng tử chứa y**:
Ta có hạng tử \( 4y^2 - 8y \). Đặt lại hạng tử này:
\[
4(y^2 - 2y)
\]

4. **Hoàn thành bình phương**:
Hoàn thành bình phương cho \( y^2 - 2y \):
\[
y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1
\]
Thay vào:
\[
4((y - 1)^2 - 1) = 4(y - 1)^2 - 4
\]

5. **Thay trở lại**:
\[
x^2 + 4(y - 1)^2 - 4 + 3
\]
Còn lại:
\[
x^2 + 4(y - 1)^2 - 1
\]

6. **Viết lại thành một bình phương**:
Nhận thấy đây là dạng của một hiệu hai bình phương:
\[
(x)^2 - (1 - 2(y - 1))^2
\]

Có thể viết lại thành:
\[
(x - (1 - 2(y - 1)))(x + (1 - 2(y - 1)))
\]

Cuối cùng, ta có thể viết kết quả phân tích:
\[
(x - 1 + 2y)(x + 1 - 2y)
\]

Vậy đa thức đã cho phân tích thành nhân tử là:
\[
(x - 1 + 2y)(x + 1 - 2y)
\]