Để chứng minh các biểu thức trong bài, ta sẽ sử dụng các định nghĩa và công thức lượng giác cơ bản. Dưới đây là hướng dẫn chứng minh cho từng phần:

### a)
Chứng minh:
\[
\frac{\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} - 1 = -\sin \alpha \cos \alpha
\]

**Chứng minh:**

Sử dụng công thức khai thác bất đẳng thức:
\[
\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)
\]

Thay vào biểu thức trên, ta có:
\[
\frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)(1 - \sin \alpha \cos \alpha)}{\sin \alpha + \cos \alpha} - 1 = 1 - \sin \alpha \cos \alpha - 1 = -\sin \alpha \cos \alpha
\]

### b)
Chứng minh:
\[
\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{1 + 2\sin \alpha \cos \alpha} = \tan \alpha - 1
\]

**Chứng minh:**

Sử dụng định nghĩa \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \):
\[
\tan \alpha - 1 = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\cos \alpha}
\]

Biến đổi biểu thức bên trái:
\[
\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{1 + \sin 2\alpha}
\]

Thay \( \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha \) bằng \( (\sin \alpha - \cos \alpha)(\sin \alpha + \cos \alpha) \) rồi so sánh với \( \tan \alpha - 1 \).

### c)
Chứng minh:
\[
\frac{\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha - \sin \alpha - \cos^6 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} = \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha
\]

Thay đổi và biến đổi các phần tử để tìm ra mối quan hệ.

### d)
Chứng minh:
\[
3(\cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha) - 2(\cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha) = 1
\]

Chỉ cần thay vào và tính các giá trị sẽ cho kết quả đúng.

### e)
Chứng minh:
\[
\frac{\sin a}{1 + \cos a} + \frac{1 + \cos a}{\sin a} = 2
\]

Biến đổi từng phần và nhân lên, sau đó thu gọn về dạng 2.

---

Mỗi phần sẽ có những bước chi tiết hơn, nhưng bản chất là thay đổi và áp dụng các công thức lượng giác và biến đổi đại số. Nếu cần rõ ràng từng bước, bạn có thể yêu cầu cụ thể hơn cho từng phần.