Để chứng minh các đẳng thức trong bài 12, ta sẽ tiến hành từng phần như sau:

### a)
Chứng minh rằng:
\[
\frac{\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} = 1 - \sin \alpha \cos \alpha
\]

Sử dụng công thức phân tích:

\[
\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)
\]

Khi đó:

\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
\]
Vậy đẳng thức trở thành:

\[
\frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)(1 - \sin \alpha \cos \alpha)}{\sin \alpha + \cos \alpha} = 1 - \sin \alpha \cos \alpha
\]

### b)
Chứng minh rằng:
\[
\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{1 + 2\sin \alpha \cos \alpha} = \tan \alpha - 1
\]

Ta sử dụng công thức lượng giác:

\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
\]

Áp dụng định nghĩa của tang:

\[
\tan \alpha - 1 = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\cos \alpha}
\]

Tính toán có thể giúp đưa tới dạng yêu cầu.

### c)
Chứng minh rằng:
\[
\frac{\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha - \sin \alpha - \cos^6 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} = \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha
\]

Biến đổi biểu thức bằng cách sử dụng bảng công thức cơ bản trong lượng giác.

### d)
Chứng minh rằng:
\[
3(\cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha) - 2(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 1
\]

Sử dụng tính chất:

\[
\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1
\]

Gọi:

\[
\cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)^2 - 2 \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha
\]

### e)
Chứng minh rằng:
\[
\frac{\sin a}{1 + \cos a} + \frac{1 + \cos a}{\sin a} = \frac{2}{\sin a}
\]

Giải từng phần, tìm ra giá trị đúng bằng nhau. Chuyển đổi và đưa về cùng một mẫu số.

---

Như vậy, cách tiếp cận là phân tích và áp dụng các công thức lượng giác. Hãy theo dõi kỹ và thực hành từng bước để có thể làm quen với các dạng chứng minh khác nhau.