Để chứng minh đẳng thức sau:

\[
\frac{\cos^2 a}{1 + \tan a} + \frac{\sin^2 a}{1 + \cot a} = 1 - \sin a \cos a
\]

Ta sẽ bắt đầu từ bên trái và chuyển đổi các biểu thức với các công thức lượng giác.

1. **Biểu diễn lại các tỉ số:**
- Từ định nghĩa của tang và cotang, ta có:
\[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \quad \text{và} \quad \cot a = \frac{\cos a}{\sin a}
\]

2. **Thay thế vào biểu thức:**
\[
\frac{\cos^2 a}{1 + \tan a} = \frac{\cos^2 a}{1 + \frac{\sin a}{\cos a}} = \frac{\cos^2 a}{\frac{\cos a + \sin a}{\cos a}} = \frac{\cos^3 a}{\cos a + \sin a}
\]

Tương tự, ta cũng có:
\[
\frac{\sin^2 a}{1 + \cot a} = \frac{\sin^2 a}{1 + \frac{\cos a}{\sin a}} = \frac{\sin^2 a}{\frac{\sin a + \cos a}{\sin a}} = \frac{\sin^3 a}{\sin a + \cos a}
\]

3. **Thay thế vào biểu thức ban đầu:**
\[
\frac{\cos^3 a}{\cos a + \sin a} + \frac{\sin^3 a}{\sin a + \cos a} = \frac{\cos^3 a + \sin^3 a}{\cos a + \sin a}
\]

Sử dụng công thức phân tích đa thức, ta có:
\[
\cos^3 a + \sin^3 a = (\cos a + \sin a)(\cos^2 a - \cos a \sin a + \sin^2 a)
\]

Do đó, ta có:
\[
\frac{\cos^3 a + \sin^3 a}{\cos a + \sin a} = \cos^2 a - \cos a \sin a + \sin^2 a
\]

4. **Rút gọn biểu thức:**
Vì \(\cos^2 a + \sin^2 a = 1\), ta có:
\[
\cos^2 a - \cos a \sin a + \sin^2 a = 1 - \cos a \sin a
\]

5. **Kết luận:**
Ta đã chứng minh được rằng:
\[
\frac{\cos^2 a}{1 + \tan a} + \frac{\sin^2 a}{1 + \cot a} = 1 - \sin a \cos a
\]

Do đó, đẳng thức đã được chứng minh thành công.