Để phân tích các đa thức sau thành nhân tử, ta sử dụng các phương pháp như phân tích theo hình thức bình phương, khai thác yếu tố chung, hay áp dụng các công thức đặc biệt. Dưới đây là phần phân tích cho từng đa thức:

### a) \(x^2 - 10x + 25\)

Đây là một đa thức bậc 2 và có thể phân tích thành bình phương:

\[
x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2
\]

### b) \(8x^3 - 1\)

Đa thức này có thể được phân tích bằng cách sử dụng công thức hiệu của hai lập phương:

\[
8x^3 - 1 = (2x)^3 - 1^3 = (2x - 1)((2x)^2 + 2x \cdot 1 + 1^2) = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)
\]

### c) \(4x^3 - 4x\)

Có thể khai thác yếu tố chung:

\[
4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1)
\]

Tiếp tục phân tích \(x^2 - 1\) bằng công thức hiệu bình phương:

\[
4x(x^2 - 1) = 4x(x - 1)(x + 1)
\]

### d) \(x^4 + 27x\)

Có thể khai thác yếu tố chung:

\[
x^4 + 27x = x(x^3 + 27)
\]

Tiếp tục phân tích \(x^3 + 27\) bằng công thức tổng lập phương:

\[
x^3 + 27 = x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)
\]

Do đó, chúng ta có:

\[
x^4 + 27x = x(x + 3)(x^2 - 3x + 9)
\]

### e) \(y^2 - x^2 + 2y + 1\)

Ta có thể nhóm lại để phân tích:

\[
y^2 + 2y + 1 - x^2 = (y + 1)^2 - x^2
\]

Áp dụng công thức hiệu bình phương:

\[
(y + 1)^2 - x^2 = ((y + 1) - x)((y + 1) + x) = (y + 1 - x)(y + 1 + x)
\]

### Tóm tắt kết quả:

1. \(x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2\)
2. \(8x^3 - 1 = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)\)
3. \(4x^3 - 4x = 4x(x - 1)(x + 1)\)
4. \(x^4 + 27x = x(x + 3)(x^2 - 3x + 9)\)
5. \(y^2 - x^2 + 2y + 1 = (y + 1 - x)(y + 1 + x)\)