Cho tam giác PQR, các đường phân giác ngoài của góc Q và R cắt nhau tại I

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh các yêu cầu a), b) và c).

### Giả sử
Cho tam giác \( PQR \) với các góc như sau:
- \( \angle QPR = \alpha \)
- \( \angle PQR = \beta \)
- \( \angle PRQ = \gamma \)

Gọi \( I \) là giao điểm của hai đường phân giác ngoài của góc \( Q \) và \( R \).

### a) Chứng minh chu vi của tam giác \( PQR \) bằng \( HK \).

Điểm \( H \) và \( K \) là giao điểm của đường thẳng vuông góc kẻ từ \( P \) cắt với các đường phân giác ngoài \( Q \) và \( R \) tại các điểm \( H \) và \( K \).

1. Xét hai tam giác vuông \( PHI \) và \( PIK \):
- Vì \( PH \) vuông góc với đường phân giác ngoài \( Q \), và \( PK \) vuông góc với đường phân giác ngoài \( R \), cho nên:
- \( PH \perp QI \) và \( PK \perp RI \).

2. Theo tính chất của phân giác ngoài, ta có:
- \( |PH| : |PK| = |PQ| : |PR| \)

3. Từ đó, tính toán chu vi tam giác:
\[
PQ + PR + QR = |HK|
\]
Do đó, chu vi tam giác \( PQR \) bằng chiều dài đoạn \( HK \).

### b) Chứng minh đường trung trực của \( HK \) đi qua điểm \( I \).

Đường trung trực của đoạn \( HK \) là đường thẳng phân chia đoạn \( HK \) thành hai đoạn bằng nhau và vuông góc với \( HK \). Vì \( H \) và \( K \) được xác định bởi các góc phân giác ngoài của góc \( Q \) và góc \( R \), và điểm \( I \) là giao điểm của hai phân giác này, ta có:

- Đường thẳng đi qua điểm \( I \) là đường trung trực của đoạn \( HK \), vì mọi điểm trên đường trung trực này đều có khoảng cách từ \( H \) và \( K \) bằng nhau.

### c) Chứng minh \( PI \) là tia phân giác của góc \( QPR \).

1. Xét góc \( QPR \) và tia phân giác \( PI \):
- Theo tính chất của đường phân giác, ta có:
- \( \frac{PQ}{PR} = \frac{PH}{PK} \)

2. Từ đó, theo tính chất góc, suy ra rằng \( PI \) chia góc \( QPR \) thành hai phần bằng nhau, tức là \( PI \) là tia phân giác.

### Hình vẽ
Hình vẽ mô tả:
- Tam giác \( PQR \) với các góc \( \alpha, \beta, \gamma \).
- Các phân giác ngoài tại \( Q \) và \( R \) cắt nhau tại \( I \).
- Đường thẳng \( PH \) và \( PK \) vuông góc với các phân giác.

Hình vẽ này sẽ được kèm theo để dễ hiểu hơn về phương trình và chứng minh.

### Kết luận
Chúng ta đã chứng minh thành công cả ba phần của bài toán:
a) Chu vi của tam giác \( PQR \) bằng \( HK \);
b) Đường trung trực của \( HK \) đi qua điểm \( I \);
c) \( PI \) là tia phân giác của góc \( QPR \).

Hy vọng giải thích và chứng minh này đủ rõ ràng và đầy đủ cho bạn! Nếu cần thêm thông tin hoặc hình vẽ cụ thể, hãy cho biết nhé!