Để xác định khẳng định nào sai trong các lựa chọn đưa ra, ta cần phân tích và hiểu rõ về các khái niệm liên quan đến khoảng cách giữa các đường thẳng, mặt phẳng và điểm trong không gian.

1. **Khẳng định A**: \( d(\Delta_1, \Delta_2) = d(\alpha, \beta) \): Điều này có thể đúng nếu \(\alpha\) và \(\beta\) là đường thẳng vuông góc với các mặt phẳng chứa \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\).

2. **Khẳng định B**: \( d(\Delta_1, \beta) = d(\Delta_1, \alpha) \): Thường thì điều này không đúng vì \(\beta\) không nhất thiết phải cùng với khoảng cách giữa đường thẳng và điểm \(\alpha\).

3. **Khẳng định C**: \( d(\Delta_1, \Delta_2) < d(\alpha, \beta) \): Có thể đúng nếu khoảng cách giữa hai đường thẳng nhỏ hơn khoảng cách giữa các điểm nằm trên hai đường thẳng.

4. **Khẳng định D**: \( d((\alpha), (\beta)) \leq MN, \forall M \in \Delta_1, N \in \Delta_2 \): Đây có vẻ là một khẳng định đúng, vì khoảng cách giữa hai điểm trên đường thẳng không bao giờ lớn hơn khoảng cách giữa các đường thẳng.

Tóm lại, khẳng định **B** là khẳng định sai.