Để tìm giá trị của \( m \) sao cho hệ phương trình sau có nghiệm nguyên:

\[
\begin{cases}
(m-3)x + y = 2 \\
mx + 2y = 5
\end{cases}
\]

ta có thể biểu diễn \( y \) theo \( x \) từ phương trình thứ nhất, sau đó thay vào phương trình thứ hai.

1. **Giải phương trình thứ nhất theo \( y \)**:
\[
y = 2 - (m-3)x = 2 - mx + 3x = 2 + (3-m)x
\]

2. **Thay \( y \) vào phương trình thứ hai**:
\[
mx + 2(2 + (3-m)x) = 5
\]
\[
mx + 4 + 2(3-m)x = 5
\]
\[
mx + 4 + (6 - 2m)x = 5
\]
\[
(m + 6 - 2m)x + 4 = 5
\]
\[
(6 - m)x + 4 = 5
\]
\[
(6 - m)x = 1
\]
\[
x = \frac{1}{6 - m} \quad (m \neq 6)
\]

3. **Thay giá trị \( x \) vào phương trình để tìm \( y \)**:
\[
y = 2 + (3 - m)\left(\frac{1}{6 - m}\right)
\]
\[
y = 2 + \frac{3 - m}{6 - m}
\]
\[
y = \frac{2(6 - m) + (3 - m)}{6 - m} = \frac{12 - 2m + 3 - m}{6 - m} = \frac{15 - 3m}{6 - m}
\]

4. **Điều kiện nghiệm nguyên**:
Để \( x \) và \( y \) là số nguyên, thì \( 6 - m \) phải chia hết cho 1 và \( 15 - 3m \) phải chia hết cho \( 6 - m \).

Cụ thể, đặt:
\[
x = \frac{1}{6 - m} \in \mathbb{Z} \Rightarrow 6 - m \text{ là ước của } 1 \rightarrow 6 - m = \pm 1
\]

- Nếu \( 6 - m = 1 \Rightarrow m = 5 \)
- Nếu \( 6 - m = -1 \Rightarrow m = 7 \)

Nếu \( m = 5 \):
\[
x = \frac{1}{1} = 1
\]
\[
y = 2 + (3 - 5)(1) = 2 - 2 = 0 \quad \Rightarrow (1, 0)
\]

Nếu \( m = 7 \):
\[
x = \frac{1}{-1} = -1
\]
\[
y = 2 + (3 - 7)(-1) = 2 + 4 = 6 \quad \Rightarrow (-1, 6)
\]

Do đó, các giá trị \( m \) để hệ có nghiệm nguyên là \( m = 5 \) và \( m = 7 \).