Để tìm số tự nhiên \( a \) sao cho \( (a + 5) \) chia hết cho \( (a^2 + 1) \), chúng ta cần giải bất phương trình sau:

\[
(a + 5) \mod (a^2 + 1) = 0
\]

Điều này có nghĩa là \( a + 5 \) là bội số của \( a^2 + 1 \). Với điều kiện này, ta có thể bắt đầu khám phá một số giá trị của \( a \).

1. Đặt \( k = \frac{a + 5}{a^2 + 1} \) với \( k \) là một số nguyên:
\[
a + 5 = k(a^2 + 1)
\]

2. Chuyển đổi phương trình:
\[
a + 5 = ka^2 + k
\]
\[
ka^2 - a + (k - 5) = 0
\]

3. Đây là một phương trình bậc hai. Để phương trình này có nghiệm nguyên, delta (Δ) của nó phải là một số chính phương. Tính delta:
\[
\Delta = (-1)^2 - 4k(k - 5) = 1 - 4k^2 + 20k
\]

4. Để \( \Delta \) là một số chính phương, ta cần tìm các giá trị của \( k \) mà sao cho \( 1 - 4k^2 + 20k = m^2 \) với \( m \) là một số nguyên.

Chúng ta có thể thử với một số giá trị nhỏ của \( a \):

- Khi \( a = 0 \):
\[
a + 5 = 5 \quad \text{và} \quad a^2 + 1 = 1 \quad \text{=>} \quad 5 \text{ chia hết cho } 1
\]
- Khi \( a = 1 \):
\[
a + 5 = 6 \quad \text{và} \quad a^2 + 1 = 2 \quad \text{=>} \quad 6 \text{ chia hết cho } 2
\]
- Khi \( a = 2 \):
\[
a + 5 = 7 \quad \text{và} \quad a^2 + 1 = 5 \quad \text{=>} \quad 7 \text{ không chia hết cho } 5
\]
- Khi \( a = 3 \):
\[
a + 5 = 8 \quad \text{và} \quad a^2 + 1 = 10 \quad \text{=>} \quad 8 \text{ không chia hết cho } 10
\]
- Khi \( a = 4 \):
\[
a + 5 = 9 \quad \text{và} \quad a^2 + 1 = 17 \quad \text{=>} \quad 9 \text{ không chia hết cho } 17
\]
- Khi \( a = 5 \):
\[
a + 5 = 10 \quad \text{và} \quad a^2 + 1 = 26 \quad \text{=>} \quad 10 \text{ không chia hết cho } 26
\]
- Khi \( a = 6 \):
\[
a + 5 = 11 \quad \text{và} \quad a^2 + 1 = 37 \quad \text{=>} \quad 11 \text{ không chia hết cho } 37
\]
- Khi \( a = 7 \):
\[
a + 5 = 12 \quad \text{và} \quad a^2 + 1 = 50 \quad \text{=>} \quad 12 \text{ không chia hết cho } 50
\]
- Khi \( a = 8 \):
\[
a + 5 = 13 \quad \text{và} \quad a^2 + 1 = 65 \quad \text{=>} \quad 13 \text{ không chia hết cho } 65
\]
- Khi \( a = 9 \):
\[
a + 5 = 14 \quad \text{và} \quad a^2 + 1 = 82 \quad \text{=>} \quad 14 \text{ không chia hết cho } 82
\]
- Khi \( a = 10 \):
\[
a + 5 = 15 \quad \text{và} \quad a^2 + 1 = 101 \quad \text{=>} \quad 15 \text{ không chia hết cho } 101
\]
- Khi \( a = 11 \):
\[
a + 5 = 16 \quad \text{và} \quad a^2 + 1 = 122 \quad \text{=>} \quad 16 \text{ không chia hết cho } 122
\]

Tương tự, tiếp tục thử cho đến khi tìm được số \( a \) thoả mãn yêu cầu.

Kết quả là \( a = 0 \) và \( a = 1 \) là những số tự nhiên thoả mãn điều kiện đã đặt ra.