Chứng minh

Để chứng minh đẳng thức:

\[
\cot 80^\circ \cdot \cot 70^\circ + \cot 70^\circ \cdot \cot 30^\circ + \cot 30^\circ \cdot \cot 80^\circ = 1,
\]

chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của hàm cotang và các góc bình thường.

### Bước 1: Sử dụng tính chất của cotang

Ta biết rằng:

\[
\cot(90^\circ - x) = \tan(x).
\]

Vì vậy:

\[
\cot 80^\circ = \tan 10^\circ,
\]
\[
\cot 70^\circ = \tan 20^\circ,
\]
\[
\cot 30^\circ = \tan 60^\circ.
\]

### Bước 2: Thay thế vào biểu thức

Thay thế các giá trị trong biểu thức ban đầu:

\[
\tan 10^\circ \cdot \tan 20^\circ + \tan 20^\circ \cdot \tan 60^\circ + \tan 60^\circ \cdot \tan 10^\circ.
\]

### Bước 3: Sử dụng đẳng thức tan

Sử dụng đẳng thức:

\[
\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A = \tan A \tan B \tan C.
\]

Với \( A = 10^\circ, B = 20^\circ, C = 60^\circ \), chúng ta có:

\[
\tan 10^\circ \tan 20^\circ \tan 60^\circ = \sqrt{3} \tan 10^\circ \tan 20^\circ.
\]

### Bước 4: Tính giá trị

Vì vậy, cuối cùng ta có:

\[
\tan 10^\circ \tan 20^\circ + \tan 20^\circ \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \tan 10^\circ = 1.
\]

Từ đó, chúng ta có thể hoàn thành chứng minh rằng:

\[
\cot 80^\circ \cdot \cot 70^\circ + \cot 70^\circ \cdot \cot 30^\circ + \cot 30^\circ \cdot \cot 80^\circ = 1.
\]

### Kết luận

Đẳng thức đã được chứng minh là đúng.