Để giải bài toán này, ta cần tính giới hạn:

\[
L = \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 3n + 1} - \sqrt{n^2 - 5n + an + b} \right)
\]

Khi n tiến ra vô cùng, ta có thể đơn giản hóa các căn bật hai. Ta chia cả tử và mẫu cho \(n\):

\[
L = \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{1 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}} - \sqrt{1 - \frac{5}{n} + \frac{a}{n} + \frac{b}{n^2}} \right)
\]

Khi \(n\) tiến ra vô cùng, các phần \(\frac{3}{n}\), \(\frac{1}{n^2}\), \(\frac{5}{n}\), \(\frac{a}{n}\), và \(\frac{b}{n^2}\) đều tiến tới 0. Do đó, ta có:

\[
L = \sqrt{1 + 0 + 0} - \sqrt{1 - 0 + 0} = 1 - 1 = 0
\]

Để bài cho biết khi đó \(L = \frac{1}{2}\), từ đó có thể suy ra giá trị của các hệ số \(a\) và \(b\).

Từ \(L\) và biết rằng \(L = \frac{1}{2}\), ta cần thiết lập phương trình từ giới hạn:

\[
0 = \frac{1}{2} \implies 2b - a = k \text{ (k là hệ số liên quan đến giới hạn)}
\]

Sau khi tìm được \(2b - a\), bạn có thể so sánh với các đáp án A, B, C, D để tìm kết quả cuối cùng.

Nếu bạn có thông tin bổ sung hoặc các giá trị cụ thể hơn cho a và b, tôi có thể giúp bạn tính toán kết quả cụ thể hơn.